Какова вероятность того, что наугад выбранная точка в прямоугольнике (со сторонами 1 и 2) будет ближе к ближайшей

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать геометрический подход. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 1 и 2. Допустим, что мы выбираем точку наугад внутри этого прямоугольника. Нам нужно вычислить вероятность того, что эта точка будет ближе к ближайшей стороне прямоугольника, чем 0,1.

Для начала, давайте представим, что к каждой стороне прямоугольника мы проведем окружность с радиусом 0,1, так что эти окружности будут касаться сторон прямоугольника. Затем, нарисуем прямоугольник с более большими сторонами, содержащий данный прямоугольник в себе и окружности к каждой стороне.

Теперь у нас есть два вложенных прямоугольника: внешний прямоугольник с большими сторонами и внутренний прямоугольник с меньшими сторонами. Мы хотим найти отношение площадей этих двух прямоугольников. Назовем внутренний прямоугольник "A", а внешний - "B".

Площадь прямоугольника "A" будет равна \(1 \times 2 = 2\) квадратным единицам, потому что его стороны соответствуют сторонам исходного прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника "B", мы должны учесть четыре сегмента, образованные окружностями, исходящими от каждой стороны прямоугольника. Эти сегменты являются кусочками площади, которые мы должны вычесть из общей площади прямоугольника "B".

Для каждого сегмента площадь можно вычислить как разность площади сектора и площади треугольника, образованного радиусом окружности и отрезком прямой, соединяющим точку на окружности с ближайшей вершиной прямоугольника. Учитывая, что радиус каждой окружности равен 0,1, мы можем записать формулу для площади сегмента:

\[S_{сегмента} = 0,1^2 \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4})\]

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника "B". Она выражается следующим образом:

\[S_{прямоугольника B} = 1 \times 2 - 4 \times S_{сегмента}\]

\[S_{прямоугольника B} = 2 - 4 \cdot (0,1^2 \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}))\]

\[S_{прямоугольника B} = 2 - (0,1^2 \cdot \pi - 0,1^2 \cdot \sqrt{3})\]

Окончательно, мы можем вычислить отношение площади прямоугольника "A" к площади прямоугольника "B". Обозначим это отношение как \(P\).

\[P = \frac{S_{прямоугольника A}}{S_{прямоугольника B}}\]

\[P = \frac{2}{2 - (0,1^2 \cdot \pi - 0,1^2 \cdot \sqrt{3})}\]

Теперь мы можем вычислить значение \(P\), которое представляет вероятность того, что наугад выбранная точка в прямоугольнике будет ближе к ближайшей стороне прямоугольника, чем 0,1. Создавая иллюстрацию и вычисляя числовое значение \(P\), мы можем найти ответ на задачу. Однако, точные численные значения здесь нам не нужны, поэтому мы не будем их вычислять.