Какова вероятность того, что из 730 пассажиров поезда: а) четверо имеют день рождения 23 февраля; б) двое имеют день

Давайте решим задачу поочередно, чтобы ответ был максимально понятен.

а) Для решения этой задачи мы должны сначала определить количество способов, которыми можно выбрать 4 пассажиров из 730. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний выглядит следующим образом:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов (пассажиров в нашем случае), а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем (4 пассажира). Обозначение "!" означает факториал, то есть произведение чисел от 1 до данного числа.

Применяя формулу сочетаний к нашей задаче, получаем:
\[C_{730}^4 = \frac{{730!}}{{4!(730-4)!}}\]

Теперь мы должны определить количество способов, которыми 4 пассажира из 730 могут иметь день рождения 23 февраля. Существует только один возможный вариант, когда все 4 пассажира имеют день рождения 23 февраля.

Таким образом, вероятность того, что 4 пассажира из 730 имеют день рождения 23 февраля, равна:
\[P_{23} = \frac{1}{{C_{730}^4}}\]

Вычислим это значение:

\[
P_{23} = \frac{1}{{\frac{{730!}}{{4!(730-4)!}}}}
\]

\[
P_{23} = \frac{4!(730-4)!}{{730!}}
\]

\[
P_{23} = \frac{{4! \cdot 726!}}{{730!}}
\]

Вычислять факториалы такого большого числа не является простой задачей. Однако, мы можем сократить некоторые части выражения. Так, \(4!\) можно записать как \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) и \(726!\) как \(726 \cdot 725 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\). Обратите внимание, что множители от 731 до 726 в числителе и знаменателе сокращаются.

\[
P_{23} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (726 \cdot 725 \ldots 2 \cdot 1)}}{{730 \cdot 729 \cdot 728 \cdot 727 \cdot (726 \cdot 725 \ldots 2 \cdot 1)}}
\]

\[
P_{23} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{730 \cdot 729 \cdot 728 \cdot 727}}
\]

Теперь выполним вычисления:

\[
P_{23} = \frac{{24}}{{195,099,520}}
\]

Округлим ответ до ближайшей тысячной:

\[
P_{23} \approx 0.000123
\]

Таким образом, вероятность того, что из 730 пассажиров поезда 4 имеют день рождения 23 февраля, примерно равна 0.000123 или 0.0123%.

б) Для решения этой задачи мы можем использовать ту же формулу сочетаний, как в пункте а). Однако, в этом случае мы выбираем 2 пассажиров из 730. Таким образом, мы можем записать формулу как:
\[C_{730}^2 = \frac{{730!}}{{2!(730-2)!}}\]

Снова мы должны определить количество способов, в которых 2 пассажира из 730 могут иметь день рождения 1 марта. Существует только один возможный вариант, когда оба пассажира имеют день рождения 1 марта.

Таким образом, вероятность того, что 2 пассажира из 730 имеют день рождения 1 марта, равна:
\[P_{1} = \frac{1}{{C_{730}^2}}\]

Вычислим это значение:

\[
P_{1} = \frac{1}{{\frac{{730!}}{{2!(730-2)!}}}}
\]

\[
P_{1} = \frac{2!(730-2)!}{{730!}}
\]

\[
P_{1} = \frac{{2! \cdot 728!}}{{730!}}
\]

Теперь выполним вычисления:

\[
P_{1} = \frac{{2 \cdot 1 \cdot (728 \cdot 727 \ldots 2 \cdot 1)}}{{730 \cdot 729 \cdot (728 \cdot 727 \ldots 2 \cdot 1)}}
\]

\[
P_{1} = \frac{{2 \cdot 1}}{{730 \cdot 729}}
\]

\[
P_{1} = \frac{{2}}{{388,470}}
\]

Округлим ответ до ближайшей тысячной:

\[
P_{1} \approx 0.000003
\]

Таким образом, вероятность того, что из 730 пассажиров поезда 2 имеют день рождения 1 марта, примерно равна 0.000003 или 0.0003%.

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас!