Какова вероятность того, что из 6 случайно выбранных галстуков все будут одного цвета?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть два аспекта. Во-первых, сколько всего возможных комбинаций выбрать 6 галстуков из общего числа галстуков, и, во-вторых, сколько комбинаций будут содержать только галстуки одного цвета.

Допустим, у нас есть \(n\) разноцветных галстуков. Количество способов выбрать 6 галстуков из \(n\) равно числу сочетаний из \(n\) по 6, обозначается \(\binom{n}{6}\), и может быть вычислено следующим образом:

\[
\binom{n}{6} = \frac{{n!}}{{6! \cdot (n-6)!}}
\]

Теперь давайте рассмотрим количество способов выбрать 6 галстуков одного цвета. Предположим, у нас есть \(m\) галстуков одного цвета. Тогда количество способов выбрать 6 галстуков одного цвета будет равно \(\binom{m}{6}\).

Итак, вероятность того, что мы выберем 6 галстуков одного цвета из общего числа галстуков, можно выразить следующим образом:

\[
P = \frac{{\binom{m}{6}}}{{\binom{n}{6}}}
\]

Теперь давайте применим это к вашей задаче. Известно, что у нас всего 6 галстуков. Чтобы все они были одного цвета, у нас должен быть только один цвет галстуков. Поэтому в этом случае \(m = 6\). Теперь, чтобы найти общее количество галстуков, нам нужно знать количество цветов, из которых мы можем выбрать галстуки. Предположим, у нас есть 8 различных цветов галстуков. Тогда в этом случае \(n = 8\).

Теперь давайте подставим значения \(m\) и \(n\) в формулу и решим:

\[
P = \frac{{\binom{6}{6}}}{{\binom{8}{6}}}
\]

Вычислим оба значения:

\[
\binom{6}{6} = \frac{{6!}}{{6! \cdot (6-6)!}} = \frac{{6!}}{{6! \cdot 0!}} = \frac{{6!}}{{6!}} = 1
\]

\[
\binom{8}{6} = \frac{{8!}}{{6! \cdot (8-6)!}} = \frac{{8!}}{{6! \cdot 2!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2}} = 28
\]

Теперь давайте заменим значения в формуле:

\[
P = \frac{{1}}{{28}} \approx 0.0357
\]

Таким образом, вероятность того, что из 6 случайно выбранных галстуков все будут одного цвета, составляет около 0.0357 или примерно 3.57%.