Какова вероятность поражения мишени ровно 75 раз из 100 при стрельбе?

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится применить биномиальное распределение. Вероятность поражения мишени в одном выстреле обозначим как p, а количество выстрелов обозначим как n. Мы хотим узнать вероятность получить ровно 75 поражений из 100 выстрелов.

Формула для вычисления вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:
- P(X = k) обозначает вероятность того, что случится k событий успеха (в нашем случае - поражение мишени),
- C(n, k) - количество комбинаций, при которых k событий успеха произойдет из n всего событий,
- p^k - вероятность успеха в к-ом событии,
- (1-p)^(n-k) - вероятность того, что оставшиеся (n-k) событий будут неудачными.

Для нашей задачи у нас:
n = 100 (количество выстрелов),
k = 75 (количество поражений),
p - вероятность поражения мишени в одном выстреле.

Теперь мы можем воспользоваться этой формулой для вычисления искомой вероятности.

Давайте предположим, что вероятность поражения мишени в одном выстреле p равна 0.5 (это предположение сделано для примера, и фактическая вероятность может быть другой). Тогда наш расчет будет выглядеть следующим образом:

\[ P(X = 75) = C(100, 75) \cdot 0.5^{75} \cdot (1-0.5)^{100-75} \]

Чтобы рассчитать комбинацию C(100, 75), нам понадобится использовать формулу комбинаторики:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где "!" обозначает факториал числа.

Подставим значения в формулу:

\[ P(X = 75) = \frac{100!}{75!(100-75)!} \cdot 0.5^{75} \cdot 0.5^{25} \]

Прежде чем продолжить расчет, давайте вспомним определение факториала n! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Однако в нашем случае, когда n = 100, расчет n! становится очень сложным и требует большого объема вычислений. Поэтому для упрощения расчетов воспользуемся аппроксимацией факториала с помощью формулы Стирлинга.

Формула Стирлинга имеет вид:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

Где e это основание натурального логарифма, приближенно равное 2.71828.

Применим формулу Стирлинга для факториалов 100! и 75!:

\[ 100! \approx \sqrt{2\pi \cdot 100} \left(\frac{100}{2.71828}\right)^{100} \]
\[ 75! \approx \sqrt{2\pi \cdot 75} \left(\frac{75}{2.71828}\right)^{75} \]

Теперь подставим полученные значения в расчет вероятности:

\[ P(X = 75) \approx \frac{\sqrt{2\pi \cdot 100} \left(\frac{100}{2.71828}\right)^{100}}{\sqrt{2\pi \cdot 75} \left(\frac{75}{2.71828}\right)^{75} \sqrt{2\pi \cdot 25} \left(\frac{25}{2.71828}\right)^{25}} \cdot 0.5^{75} \cdot 0.5^{25} \]

Произведем несколько численных расчетов и получим окончательный ответ.