Какова вероятность одновременного отказа первой и второй ламп в приборе, если из четырех ламп две независимо перестали

Для решения этой задачи нам необходимо использовать понятие независимости.

Пусть событие "первая лампа перестала работать" обозначается \(A\), а событие "вторая лампа перестала работать" обозначается \(B\).

Так как лампы независимы, то вероятность того, что первая лампа перестанет работать, не зависит от состояния второй лампы, и наоборот. Это означает, что \(P(A|B) = P(A)\) и \(P(B|A) = P(B)\), где \(P(A|B)\) обозначает условную вероятность события \(A\) при условии, что произошло событие \(B\).

Из условия задачи мы знаем, что из четырех ламп две перестали работать. Вероятность того, что первая лампа перестала работать, равна количеству благоприятных исходов, когда первая лампа вышла из строя, поделенному на общее количество возможных исходов. Аналогично для второй лампы.

Так как лампы независимы, то вероятность того, что одновременно перестанут работать первая и вторая лампы, равна произведению вероятностей каждой лампы отказать. То есть:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3}\]

Найдем эти вероятности:

Вероятность того, что первая лампа перестала работать:

\[P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных исходов}}\]

В данном случае у нас две лампы перестали работать, а всего было четыре лампы, тогда:

\[P(A) = \frac{2}{4}\]

Вероятность того, что вторая лампа перестала работать:

\[P(B) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных исходов}}\]

Теперь у нас осталось три лампы, и только одна из них должна перестать работать, поэтому:

\[P(B) = \frac{1}{3}\]

Теперь мы можем найти вероятность одновременного отказа первой и второй ламп:

\[P(A \cap B) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

Таким образом, вероятность одновременного отказа первой и второй ламп в приборе равна \(\frac{1}{6}\).