Какова вероятность обнаружить 5 фальшивых купюр среди 1000 стодолларовых купюр, учитывая, что 0,1% купюр на рынке

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать понятие вероятности и комбинаторики. Давайте разобьем задачу на несколько шагов и рассмотрим ее решение подробно:

Шаг 1: Определение вероятности появления одной фальшивой купюры.
Дано, что 0,1% купюр на рынке являются фальшивыми. Это означает, что из 1000 купюр всего 1 купюра является фальшивой. Таким образом, вероятность обнаружить одну фальшивую купюру равна 1/1000 или 0,001.

Шаг 2: Рассмотрим, сколько возможных комбинаций из 5 фальшивых купюр можно выбрать из 1000 купюр.
Мы хотим выбрать 5 фальшивых купюр из 1000. Это задача комбинаторики, а именно нахождение числа сочетаний из 1000 по 5. Обозначается эта операция как C(1000, 5) и можно рассчитать по формуле:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где:
n - общее количество элементов (купюр)
k - количество элементов, которые нужно выбрать (фальшивых купюр)

Расчитаем C(1000, 5):

\[
C(1000, 5) = \frac{{1000!}}{{5! \cdot (1000-5)!}}
\]

\[
C(1000, 5) = \frac{{1000!}}{{5! \cdot 995!}}
\]

Шаг 3: Расчет вероятности обнаружить 5 фальшивых купюр из 1000.
Теперь у нас есть две составляющие: вероятность обнаружить одну фальшивую купюру (0,001) и количество комбинаций из 5 фальшивых купюр в 1000 (C(1000, 5)).
Чтобы получить вероятность обнаружить 5 фальшивых купюр, мы должны перемножить эти две вероятности:

Вероятность = Вероятность одной фальшивой купюры \(\times\) Количество комбинаций из 5 фальшивых купюр в 1000

\[
Вероятность = 0,001 \times C(1000, 5)
\]

Теперь выполним вычисления:

\[
Вероятность = 0,001 \times \frac{{1000!}}{{5! \cdot 995!}}
\]

\[
Вероятность = 0,001 \times \frac{{1000!}}{{5! \cdot 995!}}
\]

\[
Вероятность \approx 0,033
\]

Таким образом, вероятность обнаружить 5 фальшивых купюр среди 1000 стодолларовых купюр составляет около 0,033 или 3,3%.