Какова вероятность, что 45 студентов из 60 сдают контрольную работу в срок? Какова вероятность, что не менее половины

Для решения данных задач об использовании вероятности, нам понадобятся значения комбинаторики. Используя эти значения, мы сможем рассчитать вероятности для каждой из ситуаций.

1. Какова вероятность, что 45 студентов из 60 сдают контрольную работу в срок?

В данной задаче нам необходимо рассчитать вероятность, что 45 студентов из 60 сдадут работу в срок. Для этого используем формулу биномиального распределения:

\[
P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что k студентов сдают работу в срок
- \(C(n, k)\) - число сочетаний из n по k (n - количество студентов, k - количество студентов сдавших в срок)
- \(p\) - вероятность успешного исхода (в данном случае - сдача работы в срок)
- \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае - количество студентов)

Для нашей задачи:
\(n = 60\),
\(k = 45\),
\(p = \frac{k}{n} = \frac{45}{60}\).

Подставляем значения в формулу:

\[
P(X=45) = C(60, 45) \cdot \left(\frac{45}{60}\right)^{45} \cdot \left(1-\frac{45}{60}\right)^{60-45}
\]

Вычисляя это выражение получаем значение вероятности.

2. Какова вероятность, что не менее половины студентов из 60 сдают контрольную работу в срок?

В данной задаче нам нужно рассчитать вероятность того, что не менее половины студентов из 60 сдадут работу в срок. Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения, чтобы посчитать вероятности для всех значений k от половины до 60:

\[
P(X \geq \frac{n}{2}) = P(X=\frac{n}{2}) + P(X=\frac{n}{2}+1) + \ldots + P(X=n)
\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что k студентов сдадут работу в срок
- \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае - количество студентов)

Для нашей задачи:
\(n = 60\).

Мы можем использовать формулу, описанную выше, чтобы посчитать значение этой вероятности.

3. Какова вероятность, что от 40 до 50 студентов из 60 сдают контрольную работу в срок?

В этой задаче нам нужно рассчитать вероятность того, что от 40 до 50 студентов из 60 сдадут работу в срок. Мы можем использовать формулу биномиального распределения, чтобы посчитать вероятности для всех значений k от 40 до 50:

\[
P(40 \leq X \leq 50) = P(X=40) + P(X=41) + \ldots + P(X=50)
\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что k студентов сдадут работу в срок
- \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае - количество студентов)

Для нашей задачи:
\(n = 60\).

Мы можем использовать формулу, описанную выше, чтобы посчитать значение этой вероятности.