Какова светимость Капеллы, если её видимая звёздная величина составляет +0,2 m и её расстояние равно 45 световым годам?

Светимость звезды, такой как Капелла, может быть вычислена с использованием закона инверсного квадрата расстояния и закона Стефана-Больцмана. Давайте посмотрим на каждую часть задачи по порядку.

1. Закон инверсного квадрата расстояния гласит, что светимость звезды убывает с расстоянием по формуле:
\[F = \frac{L}{4\pi d^2}\]
где \(F\) - светимость, \(L\) - светимая мощность звезды (в ваттах), \(d\) - расстояние до звезды (в световых годах).

2. Закон Стефана-Больцмана связывает светимость звезды с её температурой:
\[L = 4\pi R^2\sigma T^4\]
где \(L\) - светимая мощность звезды (в ваттах), \(R\) - радиус звезды (в метрах), \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(5.67 \times 10^{-8}\, \text{Вт/м}^2\cdot\text{К}^4\)), \(T\) - температура звезды (в Кельвинах).

Теперь мы готовы решить задачу:

1. Переведём видимую звёздную величину \(m\) в светимую мощность \(L\). Видимая звёздная величина связана с светимой мощностью следующим образом:
\[m = -2,5\log{\left(\frac{L}{L_0}\right)}\]
где \(L_0\) - светимая мощность опорного объекта (обычно выбирается как светимая мощность Солнца, равная \(3,8 \times 10^{26}\) Вт).

Раскроем уравнение для \(L\):
\[-2,5\log{\left(\frac{L}{L_0}\right)} = +0,2\]
\[\log{\left(\frac{L}{L_0}\right)} = -\frac{0,2}{2,5}\]

Теперь возведём 10 в степень слева и справа:
\[\frac{L}{L_0} = 10^{-\frac{0,2}{2,5}}\]

И наконец, умножим обе части на \(L_0\), чтобы найти \(L\):
\[L = 10^{-\frac{0,2}{2,5}} \times L_0\]

2. Теперь найдём расстояние \(d\) до звезды в метрах. Однако, в данной задаче нам дано расстояние в световых годах. Обратимся к определению светового года - это расстояние, которое свет пройдёт за один год. Свет передвигается со скоростью примерно \(3 \times 10^8\) м/с, что примерно равно \(9,461 \times 10^{15}\) м/год. Тогда расстояние \(d\) в метрах равно:
\[d = 45 \times 9,461 \times 10^{15}\]

3. Найдём радиус \(R\) звезды, используя формулу:
\[R = \sqrt{\frac{L}{4\pi\sigma T^4}}\]

4. Наконец, найдём светимость \(F\) звезды, используя закон инверсного квадрата расстояния:
\[F = \frac{L}{4\pi d^2}\]

Теперь давайте приступим к вычислениям.