Какова светимость Капеллы, если её видимая звёздная величина составляет +0,2 m и её расстояние равно 45 световым годам?

Светимость звезды, такой как Капелла, может быть вычислена с использованием закона инверсного квадрата расстояния и закона Стефана-Больцмана. Давайте посмотрим на каждую часть задачи по порядку.

1. Закон инверсного квадрата расстояния гласит, что светимость звезды убывает с расстоянием по формуле:
$$F=\frac{L}{4\pi d^2}$$
где $F$ - светимость, $L$ - светимая мощность звезды (в ваттах), $d$ - расстояние до звезды (в световых годах).

2. Закон Стефана-Больцмана связывает светимость звезды с её температурой:
$$L=4\pi R^2\sigma T^4$$
где $L$ - светимая мощность звезды (в ваттах), $R$ - радиус звезды (в метрах), $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана ($5.67\times {10}^{-8}{\text{Вт/м}}^2\cdot {\text{К}}^4$), $T$ - температура звезды (в Кельвинах).

Теперь мы готовы решить задачу:

1. Переведём видимую звёздную величину $m$ в светимую мощность $L$. Видимая звёздная величина связана с светимой мощностью следующим образом:
$$m=-2,5\log \left(\frac{L}{L_0}\right)$$
где $L_0$ - светимая мощность опорного объекта (обычно выбирается как светимая мощность Солнца, равная $3,8\times {10}^{26}$ Вт).

Раскроем уравнение для $L$:
$$-2,5\log \left(\frac{L}{L_0}\right)=+0,2$$
$$\log \left(\frac{L}{L_0}\right)=-\frac{0,2}{2,5}$$

Теперь возведём 10 в степень слева и справа:
$$\frac{L}{L_0}={10}^{-\frac{0,2}{2,5}}$$

И наконец, умножим обе части на $L_0$, чтобы найти $L$:
$$L={10}^{-\frac{0,2}{2,5}}\times L_0$$

2. Теперь найдём расстояние $d$ до звезды в метрах. Однако, в данной задаче нам дано расстояние в световых годах. Обратимся к определению светового года - это расстояние, которое свет пройдёт за один год. Свет передвигается со скоростью примерно $3\times {10}^8$ м/с, что примерно равно $9,461\times {10}^{15}$ м/год. Тогда расстояние $d$ в метрах равно:
$$d=45\times 9,461\times {10}^{15}$$

3. Найдём радиус $R$ звезды, используя формулу:
$$R=\sqrt{\frac{L}{4\pi \sigma T^4}}$$

4. Наконец, найдём светимость $F$ звезды, используя закон инверсного квадрата расстояния:
$$F=\frac{L}{4\pi d^2}$$

Теперь давайте приступим к вычислениям.