Какова сумма масс двойной звезды, если у нее период обращения составляет 100 лет и большая полуось орбиты равна

Чтобы найти сумму масс двойной звезды, нам понадобятся законы Кеплера и космические формулы.

Законы Кеплера описывают движение небесных тел и говорят нам, что квадрат периода обращения \(T\) пропорционален кубу большой полуоси орбиты \(a\) в таком выражении:

\[T^2 = k \cdot a^3\]

где \(k\) - это гравитационная постоянная, которая для нашей задачи не является важной.

Для двойных звезд сумма масс составляет массу первой звезды \(m_1\) плюс массу второй звезды \(m_2\).

Итак, для данной задачи, нам дано, что период обращения составляет 100 лет (\(T = 100\) лет) и большая полуось орбиты равна 40 астрономических единиц (\(a = 40\) а.е.).

Для начала, давайте найдем сумму масс двойной звезды, используя закон Кеплера. Берем квадрат периода обращения и делим на куб большой полуоси орбиты:

\[
T^2 = k \cdot a^3
\]
\[
(100)^2 = k \cdot (40)^3
\]

Вычислим это:

\[
10000 = k \cdot 64000
\]

Теперь найдем сумму масс двойной звезды. Заметим, что формулы движения для двойных звезд очень похожи на формулы для одиночных звезд. В общем случае, для движения двух звезд вокруг их общего центра масс, величина массы первой звезды (\(m_1\)) и второй звезды (\(m_2\)) связаны следующим образом:

\[
\frac{{m_1}}{{m_2}} = \frac{{a_2}}{{a_1}}
\]

где \(a_1\) и \(a_2\) - малая полуось орбиты для первой и второй звезды соответственно.

Для нашего случая, предположим, что масса первой звезды \(m_1\) больше массы второй звезды \(m_2\), то есть \(m_1 > m_2\). Тогда мы можем записать:

\[
\frac{{m_1}}{{m_2}} = \frac{{a_2}}{{a_1}}
\]

Мы знаем, что большая полуось орбиты для двойной звезды равна 40 а.е., а орбита нашей первой звезды - это половина этой орбиты, поскольку она вращается вокруг их общего центра масс. Таким образом, \(a_1 = \frac{{40}}{{2}} = 20\) а.е.

Теперь мы можем записать:

\[
\frac{{m_1}}{{m_2}} = \frac{{a_2}}{{a_1}}
\]
\[
\frac{{m_1}}{{m_2}} = \frac{{40}}{{20}}
\]

Решим это:

\[
\frac{{m_1}}{{m_2}} = 2
\]

Теперь, так как \(m_1 > m_2\) и сумма масс двойной звезды равна \(m_1 + m_2\), мы можем записать:

\[
(m_1 + m_2) = (m_2 \cdot 2 + m_2)
\]

\[
(m_1 + m_2) = 3 \cdot m_2
\]

Таким образом, сумма масс двойной звезды равна тремасам второй звезды.

Получается, что масса второй звезды равна \(m_2 = \frac{{m_1}}{{3}}\).

Теперь мы можем выразить сумму масс через массу первой звезды:

\[
(m_1 + m_2) = \left( m_2 \cdot 2 + m_2 \right) = \frac{{m_1}}{{3}} \cdot 3 = m_1
\]

Таким образом, сумма масс двойной звезды равна массе первой звезды.

Итак, ответ на задачу: сумма масс двойной звезды равна массе первой звезды \(m_1\).