Какова скорость искусственного спутника Земли на круговой орбите радиусом 9000 км? Ответ выразите в километрах

Когда спутник движется по круговой орбите, его скорость определяется равной скорости, необходимой для преодоления гравитационной силы Земли и равномерного движения по орбите. Для решения этой задачи, нам понадобятся два физических закона: закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона.

Первый закон Ньютона гласит, что сила, действующая на спутник, пропорциональна массе спутника и ускорению, которое он получает. То есть \[F = ma\], где \(F\) - сила, \(m\) - масса, и \(a\) - ускорение спутника. В данном случае сила, действующая на спутник - это сила притяжения Земли к спутнику.

Закон всемирного тяготения Юлиуса Генриха Гмельинца (Гравитационный закон Ньютона) гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для этого закона примет вид: \[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\], где \(F\) - сила притяжения, \(m_1\) и \(m_2\) - массы спутника и Земли соответственно, \(r\) - расстояние между центрами масс тел, и \(G\) - гравитационная постоянная.

Таким образом, мы можем записать уравнение: \[ma = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{спутника}}}}{{r^2}}\].

Теперь нам нужно найти скорость спутника \(v\). Для этого мы воспользуемся фактом, что радиус R орбиты спутника связан с его скоростью \(v\) и периодом обращения \(T\) следующим образом: \[v = \frac{{2\pi \cdot R}}{T}\]. В нашем случае, значение радиуса орбиты известно - 9000 км.

Итак, сначала найдем период обращения спутника. Для спутника на круговой орбите период обращения связан с радиусом орбиты и скоростью следующим образом: \[T = \frac{{2\pi \cdot R}}{v}\].

Теперь, найдем начальное уравнение:

\[ma = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{спутника}}}}{{r^2}}\].

Следовательно,

\[m \cdot \frac{{2\pi \cdot R}}{T^2} = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{спутника}}}}{{r^2}}\].

Так как у нас уже есть значение радиуса орбиты, мы можем использовать его для подстановки в этот уравнение и найти ускорение спутника \(a\):

\[a = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2}}\].

Используя найденное значение ускорения \(a\), мы можем также использовать гравитационный закон Ньютона, чтобы найти массу спутника:

\[m \cdot \frac{{2\pi \cdot R}}{T^2} = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{спутника}}}}{{r^2}}\].

Решая это уравнение относительно массы спутника \(m_{\text{спутника}}\), мы можем найти ее значение.

Теперь, когда у нас есть значения массы спутника \(m_{\text{спутника}}\) и ускорения \(a\), мы можем найти его скорость \(v\).

Массу Земли \(m_{\text{Земли}}\) можно взять равной \(5.972 \times 10^{24}\) кг, а гравитационную постоянную \(G\) можно взять равной \(6.67430 \times 10^{-11}\) \(м^3/(кг \cdot с^2)\).

Теперь давайте проведем необходимые вычисления:

\[r = 9000 \times 10^3\ м = 9 \times 10^6\ м\]

\[m_{\text{Земли}} = 5.972 \times 10^{24}\ кг\]

\[G = 6.67430 \times 10^{-11}\ м^3/(кг \cdot с^2)\]

\[a = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2}}\]

\noindent Вставляем значения:

\[a = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.972 \times 10^{24}}}{{(9 \times 10^6)^2}} = 0.994\ м/с^2\]

Теперь найдем период (время обращения) спутника:

\[T = \frac{{2\pi \cdot R}}{v}\]

Мы знаем, что \(R = 9 \times 10^6\ м\), и нам нужно найти \(v\). Подставим известные значения:

\[v = \frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{T}\]

Теперь мы заменим \(a\) на полученное значение:

\[v = \frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{\sqrt{\frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{a}}}\]

Получим:

\[v \approx \frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{\sqrt{\frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{0.994}}}\]

Теперь произведем вычисления:

\[v \approx \frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{\sqrt{\frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{0.994}}} = \frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{\sqrt{\frac{{2\pi \cdot (9 \times 10^6)}}{0.994}}} = 7430\ м/с\]

Итак, скорость искусственного спутника Земли на круговой орбите радиусом 9000 км составляет примерно 7430 м/с.