Какова сила, с которой бесконечно длинный провод воздействует на прямоугольный контур, который расположен в плоскости?

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле, создаваемое током, проходящим через провод.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для магнитного поля \(d\vec{B}\), создаваемого элементарным участком провода \(d\vec{l}\):

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{r^3}\]

Где:
\(\vec{B}\) - магнитное поле,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А}\)),
\(I\) - сила тока, проходящего через провод,
\(\vec{l}\) - элементарный участок провода,
\(\vec{r}\) - вектор, соединяющий элементарный участок провода с точкой, в которой мы хотим найти магнитное поле,
\(r\) - расстояние между элементарным участком провода и точкой, в которой мы хотим найти магнитное поле.

Рассмотрим ситуацию, когда бесконечно длинный провод простирается по оси \(z\) и находится в плоскости \(xy\). Проведем прямоугольный контур \(abcd\), где \(ab\) лежит на оси \(x\), \(cd\) лежит на оси \(y\), а \(ad\) и \(bc\) параллельны оси \(z\). Магнитное поле будет направлено по правилу правого винта и будет перпендикулярно плоскости контура. Поэтому вектор \(\vec{r}\) будет направлен вдоль оси \(z\).

Теперь разобьем прямоугольный контур на маленькие элементы проводника \(d\vec{l}\), параллельные оси \(z\), и рассмотрим вклад каждого такого элемента в магнитное поле в точке, где мы хотим его вычислить.

Так как провод бесконечный, то его длина очень большая, и соседние элементы начинают и заканчиваются на практически одинаковых расстояниях от точки, где мы хотим найти магнитное поле. Поэтому можно считать, что вектор \(\vec{r}\) для каждого элемента будет иметь одинаковое направление и длину.

Теперь запишем магнитное поле, создаваемое этим элементом:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{r^3}\]

Заметим, что вектор \(\vec{r}\) параллелен оси \(z\), поэтому векторное произведение \(d\vec{l} \times \vec{r}\) будет направлено вдоль оси \(y\) (по правилу правого винта). Также заметим, что модуль вектора \(\vec{r}\) равен расстоянию от элемента проводника до точки, где мы хотим найти магнитное поле, которое в данном случае равно \(r\).

Теперь проинтегрируем магнитное поле по всей длине провода, чтобы найти магнитное поле в точке \(P\), где расположен контур:

\[\vec{B} = \int_{-\infty}^{\infty} d\vec{B}\]

Так как составляющая магнитного поля, перпендикулярная плоскости контура, не зависит от координаты \(z\), то интеграл по \(z\) даст просто длину провода, которую мы обозначим \(l\). Итак:

\[\vec{B} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{r^3}\]

\[\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I}}{{r^3}} \int_{-\infty}^{\infty} d\vec{l} \times \vec{r}\]

Заметим, что векторное произведение \(d\vec{l} \times \vec{r}\) дает вектор, направленный по оси \(y\), и имеющий длину, равную \(l\). Поэтому интеграл по длине провода просто даст длину провода \(l\).

Итак, получаем:

\[\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi \cdot r^3}} \cdot l \cdot \vec{y}\]

Так как в данной задаче мы не ищем магнитное поле, а интересует только сила, с которой провод воздействует на контур, то нам нужно взять скалярное произведение этого магнитного поля и элементарного участка контура:

\[dF = \vec{I} \cdot \vec{B} \cdot dl = I \cdot B \cdot dl\]

Осталось только проинтегрировать это выражение по всему контуру, чтобы найти полную силу:

\[F = \int_I B \cdot dl\]

Заметим, что магнитное поле B одинаково на всем контуре, поэтому можно вынести его за знак интеграла:

\[F = B \cdot \int_I dl\]

Длина контура равна сумме длин сторон прямоугольника, то есть:

\[\int_I dl = 2(a + b)\]

Где \(a\) - длина стороны контура перпендикулярно проводу, \(b\) - длина стороны контура параллельно проводу.

Таким образом, полная сила, с которой бесконечно длинный провод воздействует на прямоугольный контур, который расположен в плоскости, будет равна:

\[F = B \cdot 2(a + b)\]

Исходя из нашего рассмотрения, сила будет направлена перпендикулярно плоскости контура и прямоугольника.

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как определить силу, с которой бесконечно длинный провод воздействует на прямоугольный контур в плоскости. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь.