Какова сила натяжения нити, связывающей тела массами m1 = 1кг и m2 = 2кг, когда они движутся прямолинейно

Хорошо, чтобы найти силу натяжения нити, мы можем использовать второй закон Ньютона для движения каждого из тел. Давайте начнем с тела массой m1.

1. Рассмотрим силы, действующие на тело m1: сила натяжения нити T и горизонтальная сила трения \( f_{тр1} \).

2. Применим второй закон Ньютона для тела m1:

\[ \sum F_{x1} = m_1 \cdot a_1 \]

Где \( \sum F_{x1} \) обозначает сумму сил, действующих на тело m1 в горизонтальном направлении, а \( a_1 \) - ускорение тела m1.

3. Известно, что сила трения между телом и поверхностью равна \( f_{тр1} = \mu_1 \cdot N_1 \), где \( \mu_1 \) - коэффициент трения между телом и поверхностью, а \( N_1 \) - нормальная сила, действующая на тело m1.

4. Нормальная сила \( N_1 \) равна весу тела m1, так как оно находится на горизонтальной поверхности, а значит нормальная сила \( N_1 \) равна \( m_1 \cdot g \), где \( g \) - ускорение свободного падения.

5. Тогда горизонтальная сила трения \( f_{тр1} = \mu_1 \cdot m_1 \cdot g \).

6. Теперь возвращаемся к уравнению второго закона Ньютона и записываем его с учетом всех сил, действующих на тело m1:

\[ T - f_{тр1} = m_1 \cdot a_1 \]

7. Заменяем значение \( f_{тр1} \) из предыдущего шага:

\[ T - \mu_1 \cdot m_1 \cdot g = m_1 \cdot a_1 \]

Теперь перейдем ко второму телу массой m2.

8. Аналогично, рассмотрим силы, действующие на тело m2: сила натяжения нити T и горизонтальная сила трения \( f_{тр2} \).

9. Сумма сил, действующих на тело m2, будет равна:

\[ \sum F_{x2} = m_2 \cdot a_2 \]

Где \( \sum F_{x2} \) обозначает сумму сил в горизонтальном направлении, а \( a_2 \) - ускорение тела m2.

10. Горизонтальная сила трения \( f_{тр2} \) будет равна \( \mu_2 \cdot N_2 \), где \( \mu_2 \) - коэффициент трения между телом m2 и поверхностью, а \( N_2 \) - нормальная сила, действующая на тело m2.

11. Нормальная сила \( N_2 \) равна весу тела m2, т.е. \( N_2 = m_2 \cdot g \).

12. Тогда горизонтальная сила трения \( f_{тр2} = \mu_2 \cdot m_2 \cdot g \).

13. Уравнение второго закона Ньютона для тела m2 будет выглядеть следующим образом:

\[ T + f_{тр2} = m_2 \cdot a_2 \]

14. Заменяем значение \( f_{тр2} \) из предыдущего шага:

\[ T + \mu_2 \cdot m_2 \cdot g = m_2 \cdot a_2 \]

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных (T и a). Давайте решим их методом сравнивания.

15. Обратим внимание, что ускорения \( a_1 \) и \( a_2 \) соответствуют друг другу, так как тела связаны нитью и движутся вместе.

16. Сравнивая уравнения для каждого из тел, мы видим, что \( m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2 \), т.к. ускорения равны.

17. Заменяем \( a_2 \) в уравнении для m2, используя значение \( a_1 \):

\[ T + \mu_2 \cdot m_2 \cdot g = m_2 \cdot \frac{{m_1 \cdot a_1}}{{m_2}} \]

18. Обратите внимание, что \( m_2 \) сокращается:

\[ T + \mu_2 \cdot g \cdot m_2 = m_1 \cdot a_1 \]

19. Теперь мы имеем два уравнения, содержащих только T и a, и можем решить их.

20. Один из способов это сделать - выразить a из первого уравнения и заменить вторым уравнением:

\[ a_1 = \frac{{T - \mu_1 \cdot m_1 \cdot g}}{{m_1}} \]

\[ T + \mu_2 \cdot g \cdot m_2 = m_1 \cdot \frac{{T - \mu_1 \cdot m_1 \cdot g}}{{m_1}} \]

21. Решим уравнение относительно T:

\[ T + \mu_2 \cdot g \cdot m_2 = T - \mu_1 \cdot m_1 \cdot g \]

\[ \mu_2 \cdot g \cdot m_2 = - \mu_1 \cdot m_1 \cdot g \]

\[ T = \frac{{\mu_2 \cdot g \cdot m_2 - \mu_1 \cdot g \cdot m_1}}{{1}} \]

22. Заменим значения \( \mu_2, \mu_1, m_2 \) и \( m_1 \):

\[ T = \frac{{0.2 \cdot 9.8 \cdot 2 - 0.3 \cdot 9.8 \cdot 1}}{{1}} \]

23. Подсчитаем значение:

\[ T = 0.2 \cdot 9.8 \cdot 2 - 0.3 \cdot 9.8 \cdot 1 \]

\[ T = 3.92 - 2.94 \]

\[ T = 0.98 \, \text{Н} \]

Итак, сила натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, равна 0.98 Н.