Какова сила натяжения нити, связывающей тела массами m1 = 1кг и m2 = 2кг, когда они движутся прямолинейно

Хорошо, чтобы найти силу натяжения нити, мы можем использовать второй закон Ньютона для движения каждого из тел. Давайте начнем с тела массой m1.

1. Рассмотрим силы, действующие на тело m1: сила натяжения нити T и горизонтальная сила трения $f_{тр1}$.

2. Применим второй закон Ньютона для тела m1:

$$\sum F_{x1}=m_1\cdot a_1$$

Где $\sum F_{x1}$ обозначает сумму сил, действующих на тело m1 в горизонтальном направлении, а $a_1$ - ускорение тела m1.

3. Известно, что сила трения между телом и поверхностью равна $f_{тр1}={\mu }_1\cdot N_1$, где ${\mu }_1$ - коэффициент трения между телом и поверхностью, а $N_1$ - нормальная сила, действующая на тело m1.

4. Нормальная сила $N_1$ равна весу тела m1, так как оно находится на горизонтальной поверхности, а значит нормальная сила $N_1$ равна $m_1\cdot g$, где $g$ - ускорение свободного падения.

5. Тогда горизонтальная сила трения $f_{тр1}={\mu }_1\cdot m_1\cdot g$.

6. Теперь возвращаемся к уравнению второго закона Ньютона и записываем его с учетом всех сил, действующих на тело m1:

$$T-f_{тр1}=m_1\cdot a_1$$

7. Заменяем значение $f_{тр1}$ из предыдущего шага:

$$T-{\mu }_1\cdot m_1\cdot g=m_1\cdot a_1$$

Теперь перейдем ко второму телу массой m2.

8. Аналогично, рассмотрим силы, действующие на тело m2: сила натяжения нити T и горизонтальная сила трения $f_{тр2}$.

9. Сумма сил, действующих на тело m2, будет равна:

$$\sum F_{x2}=m_2\cdot a_2$$

Где $\sum F_{x2}$ обозначает сумму сил в горизонтальном направлении, а $a_2$ - ускорение тела m2.

10. Горизонтальная сила трения $f_{тр2}$ будет равна ${\mu }_2\cdot N_2$, где ${\mu }_2$ - коэффициент трения между телом m2 и поверхностью, а $N_2$ - нормальная сила, действующая на тело m2.

11. Нормальная сила $N_2$ равна весу тела m2, т.е. $N_2=m_2\cdot g$.

12. Тогда горизонтальная сила трения $f_{тр2}={\mu }_2\cdot m_2\cdot g$.

13. Уравнение второго закона Ньютона для тела m2 будет выглядеть следующим образом:

$$T+f_{тр2}=m_2\cdot a_2$$

14. Заменяем значение $f_{тр2}$ из предыдущего шага:

$$T+{\mu }_2\cdot m_2\cdot g=m_2\cdot a_2$$

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных (T и a). Давайте решим их методом сравнивания.

15. Обратим внимание, что ускорения $a_1$ и $a_2$ соответствуют друг другу, так как тела связаны нитью и движутся вместе.

16. Сравнивая уравнения для каждого из тел, мы видим, что $m_1\cdot a_1=m_2\cdot a_2$, т.к. ускорения равны.

17. Заменяем $a_2$ в уравнении для m2, используя значение $a_1$:

$$T+{\mu }_2\cdot m_2\cdot g=m_2\cdot \frac{m_1\cdot a_1}{m_2}$$

18. Обратите внимание, что $m_2$ сокращается:

$$T+{\mu }_2\cdot g\cdot m_2=m_1\cdot a_1$$

19. Теперь мы имеем два уравнения, содержащих только T и a, и можем решить их.

20. Один из способов это сделать - выразить a из первого уравнения и заменить вторым уравнением:

$$a_1=\frac{T-{\mu }_1\cdot m_1\cdot g}{m_1}$$

$$T+{\mu }_2\cdot g\cdot m_2=m_1\cdot \frac{T-{\mu }_1\cdot m_1\cdot g}{m_1}$$

21. Решим уравнение относительно T:

$$T+{\mu }_2\cdot g\cdot m_2=T-{\mu }_1\cdot m_1\cdot g$$

$${\mu }_2\cdot g\cdot m_2=-{\mu }_1\cdot m_1\cdot g$$

$$T=\frac{{\mu }_2\cdot g\cdot m_2-{\mu }_1\cdot g\cdot m_1}{1}$$

22. Заменим значения ${\mu }_2,{\mu }_1,m_2$ и $m_1$:

$$T=\frac{0.2\cdot 9.8\cdot 2-0.3\cdot 9.8\cdot 1}{1}$$

23. Подсчитаем значение:

$$T=0.2\cdot 9.8\cdot 2-0.3\cdot 9.8\cdot 1$$

$$T=3.92-2.94$$

$$T=0.98\text{Н}$$

Итак, сила натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, равна 0.98 Н.