Какова реакция опоры В на балку АВ при наличии распределенной нагрузки с интенсивностью q=2 Н/м и силой

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать условия задачи и применить принципы равновесия. Давайте разберемся шаг за шагом:

1. Начнем с рисунка, на котором изображена балка АВ с нагрузкой и силой F:

\[ имейдж-1 \]

2. Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Угол α составляет 45°, поэтому сила F может быть разложена следующим образом:

\[ Фx = F * cos(α) \]
\[ Фy = F * sin(α) \]

3. Поскольку длина АС составляет 1/3 от длины АВ, то длина ВС будет составлять 2/3 от длины АВ. Таким образом, мы можем представить распределенную нагрузку q как сумму двух сил, действующих на точки С и В:

\[ q_1 = q * СВ \]
\[ q_2 = q * ВС \]

4. Теперь, когда мы разобрались с силами, приступим к вычислениям. Воспользуемся принципом равновесия моментов относительно точки А:

\[ ΣM_A = 0 \]

Так как А является осью вращения, момент силы F относительно точки А будет равен:

\[ M_{F_A} = Фx * AC = F * cos(α) * AC \]

Моменты сил, вызванных распределенной нагрузкой q1 и q2, будут:

\[ M_{q1_A} = q_1 * СA * \frac{1}{2} \]
\[ M_{q2_A} = q_2 * АВ * \frac{2}{3} \]

Где \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{2}{3}\) - коэффициенты, учитывающие распределение массы относительно точки А.

5. Теперь сложим все моменты и приравняем их нулю:

\[ M_{F_A} + M_{q1_A} + M_{q2_A} = 0 \]

\[ F * cos(α) * AC + q * СВ * СА * \frac{1}{2} + q * ВС * АВ * \frac{2}{3} = 0 \]

6. Подставим известные значения в уравнение и выразим AC:

\[ F * cos(45°) * AC + q * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{2} + q * \frac{2}{3} * \frac{1}{3} * \frac{2}{3} * AB = 0 \]

\[ F * \frac{\sqrt{2}}{2} * AC + q * \frac{1}{18} + q * \frac{4}{27} * AB = 0 \]

Учитывая, что q = 2 Н/м и F = 6 Н, мы получаем:

\[ \frac{6 * \sqrt{2}}{2} * AC + \frac{2}{18} + \frac{2}{27} * AB = 0 \]

7. Мы также знаем, что длина AC составляет 1/3 от длины AB:

\[ AC = \frac{1}{3} * AB \]

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\[ \frac{6 * \sqrt{2}}{2} * \frac{1}{3} * AB + \frac{2}{18} + \frac{2}{27} * AB = 0 \]

\[ \frac{2 * \sqrt{2}}{3} * AB + \frac{1}{9} + \frac{2}{27} * AB = 0 \]

8. Умножим уравнение на 27, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 18 * 2 * \sqrt{2} * AB + 3 + 2 * AB = 0 \]

\[ 36 * \sqrt{2} * AB + 3 + 2 * AB = 0 \]

9. Решим уравнение относительно AB:

\[ 36 * \sqrt{2} * AB + 2 * AB = -3 \]

\[ 38 * \sqrt{2} * AB = -3 \]

\[ AB = \frac{-3}{38 * \sqrt{2}} \]

10. Теперь подставим значение AB в уравнение для AC:

\[ AC = \frac{1}{3} * AB = \frac{1}{3} * \frac{-3}{38 * \sqrt{2}} \]

\[ AC = \frac{-1}{38 * \sqrt{2}} \]

11. Наконец, найдем реакцию опоры B. Для этого просуммируем вертикальные силы:

\[ ΣF_y = 0 \]

\[ Р_{B_y} - Фy - q_1 - q_2 = 0 \]

\[ Р_{B_y} = Фy + q_1 + q_2 \]

Подставим известные значения:

\[ Р_{B_y} = F * sin(α) + q * СВ + q * ВС \]

\[ Р_{B_y} = 6 * sin(45°) + 2 * \frac{1}{3} + 2 * \frac{2}{3} \]

\[ Р_{B_y} = 3 * \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \]

\[ Р_{B_y} = \frac{3 * \sqrt{2}}{2} + 2 \]

12. Теперь, чтобы найти реакцию опоры B, нам нужно использовать теорему Пифагора и принцип равновесия по горизонтали:

\[ Р_B^2 = Р_{B_y}^2 + Р_{B_x}^2 \]

\[ Р_{B_x} = Фx + q_1 * \frac{1}{2} + q_2 * \frac{2}{3} \]

Подставим известные значения:

\[ Р_{B_x} = 6 * \cos(45°) + 2 * \frac{1}{2} + 2 * \frac{2}{3} \]

\[ Р_{B_x} = 6 * \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + \frac{4}{3} \]

\[ Р_{B_x} = 3 * \sqrt{2} + 1 + \frac{4}{3} \]

Теперь используем принцип равновесия по горизонтали:

\[ Р_{B_x} = -Р_A \]
\[ 3 * \sqrt{2} + 1 + \frac{4}{3} = -Р_A \]

\[ Р_A = -3 * \sqrt{2} - 1 - \frac{4}{3} \]

Итак, реакция опоры B равна \( Р_B = \sqrt{(\frac{3 * \sqrt{2}}{2} + 2)^2 + (-3 * \sqrt{2} - 1 - \frac{4}{3})^2} \).

Вычислив данное выражение численно, мы получаем \( Р_B \approx 4,08 \).

Ответ: Реакция опоры В на балку АВ составляет приблизительно 4,08.