Какова полная поверхность усеченной четырехугольной пирамиды, если ее основания равны 2 и 4, а боковая грань наклонена

Чтобы найти полную поверхность усеченной четырехугольной пирамиды, мы должны сначала найти площади всех ее поверхностей и затем сложить их.

У нас есть два основания пирамиды, одно со стороной 2 и другое со стороной 4. Пусть сторона первого основания равна \(a\), а сторона второго основания равна \(b\).

Поскольку одно из оснований - усеченное, то мы также должны найти длину слегка наклоненной боковой грани пирамиды. В данном случае, эта боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов.

У нас нет непосредственной информации о высоте пирамиды или о длине бокового ребра, но мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины наклоненной боковой грани. Воспользуемся формулой:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ)\]

где \(c\) - длина наклоненной боковой грани. Подставим известные значения:

\[c^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[c^2 = 20 - 16 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[c^2 = 20 - 16 \cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = 20 - 8\]

\[c^2 = 12\]

\[c = \sqrt{12}\]

Таким образом, длина наклоненной боковой грани равна \(\sqrt{12}\).

Теперь, когда у нас есть все необходимые измерения, мы можем рассчитать площади поверхностей.

1. Площадь первого основания пирамиды:
Площадь основания пирамиды определяется формулой площади прямоугольника: \(S_{\text{осн1}} = a \cdot a = 2 \cdot 2 = 4\).

2. Площадь второго основания пирамиды:
Аналогично первому основанию, площадь второго основания равна \(S_{\text{осн2}} = b \cdot b = 4 \cdot 4 = 16\).

3. Площадь боковой грани:
Площадь боковой грани пирамиды определяется формулой площади прямоугольного треугольника: \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{12} = \sqrt{12}\).

Теперь мы можем сложить площади всех поверхностей для получения полной поверхности:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн1}} + S_{\text{осн2}} + S_{\text{бок}}\]
\[S_{\text{полн}} = 4 + 16 + \sqrt{12}\]

Таким образом, полная поверхность усеченной четырехугольной пирамиды равна \(4 + 16 + \sqrt{12}\) (единицы площади).