Какова полная поверхность пирамиды, если ее объем равен 25 и радиус вписанного в нее шара равен 1.5?

Для начала, нам нужно выразить высоту пирамиды через радиус вписанного шара. Для этого воспользуемся формулой, связывающей радиус вписанного шара и высоту пирамиды.

Мы знаем, что радиус вписанного шара равен 1.5, а высоту мы обозначим как \(h\).

Согласно формуле, объем пирамиды равен \(\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\), где \(r\) - радиус вписанного шара.

Подставив известные значения, получим:

\[25 = \frac{1}{3} \times \pi \times 1.5^2 \times h\]

Далее, упростим это уравнение и найдем высоту \(h\):

\[25 = \frac{1}{3} \times \pi \times 2.25 \times h\]

Умножим оба выражения на 3:

\[75 = 2.25 \times \pi \times h\]

Теперь, разделим обе части уравнения на \(2.25 \times \pi\):

\[\frac{75}{2.25 \times \pi} = h\]

Чтобы вычислить значение \(h\), нам нужно разделить 75 на произведение чисел 2.25 и \(\pi\). Давайте посчитаем это:

\[h \approx \frac{75}{2.25 \times 3.14} \approx 8.43\]

Таким образом, высота пирамиды приближенно равна 8.43.

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, нам нужно сложить площади всех боковых граней и основания.

Площадь боковой грани можно найти с помощью формулы \(A = \frac{1}{2} \times P \times l\), где \(P\) - периметр основания, а \(l\) - длина боковой грани.

Основания пирамиды есть круг, площадь которого можно найти с помощью формулы \(A = \pi \times r^2\), где \(r\) - радиус вписанного шара.

Периметр основания пирамиды можно найти умножив длину окружности основания на количество сторон.

Мы знаем, что количество сторон основания равно 4, так как на рисунке пирамиды видимы только 4 треугольных грани (но это зависит от точной формы пирамиды).

Теперь, для каждой боковой грани мы можем найти длину \(l\) с помощью теоремы Пифагора, так как мы знаем высоту и радиус вписанного шара.

Длина \(l\) будет равна \(\sqrt{h^2 + r^2}\).

Таким образом, площадь каждой боковой грани будет равна \(\frac{1}{2} \times P \times \sqrt{h^2 + r^2}\).

Площадь основания будет равна \(\pi \times r^2\), где \(r = 1.5\).

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, мы сложим площади всех боковых граней и основания.

\[Полная\ поверхность = 4 \times \frac{1}{2} \times P \times \sqrt{h^2 + r^2} + \pi \times r^2\]

Подставим известные значения:

\[Полная\ поверхность = 4 \times \frac{1}{2} \times P \times \sqrt{8.43^2 + 1.5^2} + \pi \times 1.5^2\]

Вычислим это выражение, чтобы найти полную поверхность пирамиды.