Какова полная энергия системы, если масса груза m = 0.240 кг, подвешенного на конце невесомой пружины, выводится

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу для вычисления полной энергии гармонического осциллятора.

Общая формула для полной энергии гармонического осциллятора имеет вид:

\[E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}\]

где:
\(E_{\text{полн}}\) - полная энергия системы,
\(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия системы,
\(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия системы.

Для подсчёта потенциальной энергии, мы можем использовать следующую формулу:

\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]

где:
\(k\) - коэффициент жёсткости пружины,
\(x\) - смещение груза от положения равновесия.

Для подсчёта кинетической энергии, мы можем использовать следующую формулу:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]

где:
\(m\) - масса груза,
\(v\) - скорость груза.

Также, нам известно, что груз совершает \(n = 4\) колебания в секунду с амплитудой \(a = 0.24\).
Циклическая частота колебаний \(\omega\) может быть вычислена по формуле:

\[\omega = 2\pi n\]

Следовательно, частота колебаний \(f\) равна \(n = 4\) колебаниям в секунду.

Теперь, давайте подставим полученные значения в формулы:

Для вычисления коэффициента жёсткости пружины \(k\), нам также потребуется знать период колебаний \(T\), который выражается через частоту \(f\) по формуле:

\[T = \frac{1}{f}\]

Сначала найдём значение периода \(T\):

\[T = \frac{1}{f} = \frac{1}{4} = 0.25 \, \text{сек}\]

Уже зная период \(T\) колебаний, мы можем найти частоту \(\omega\):

\[\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{0.25} = 8 \pi \, \text{рад/сек}\]

Теперь можем найти коэффициент жёсткости пружины \(k\):

\[k = \frac{m \omega^2}{a^2} = \frac{0.240 \cdot (8 \pi)^2}{0.24^2}\]
\[k = \frac{0.240 \cdot 64 \pi^2}{0.0576} \approx 267.77 \, \text{Н/м}\]

Теперь, используя найденное значение коэффициента жёсткости \(k\), мы можем вычислить потенциальную энергию \(E_{\text{пот}}\):

\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 267.77 \cdot 0.24^2\]
\[E_{\text{пот}} \approx 7.71 \, \text{Дж}\]

Осталось найти кинетическую энергию \(E_{\text{кин}}\) с помощью следующей формулы:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]

У нас есть информация о колебаниях груза в данной формуле нет информации о скорости груза. Но мы можем использовать омегу, чтобы найти скорость. Так как груз движется синусоидально вдоль оси \(x\), то максимальная скорость \(v_{\text{макс}}\) груза достигается, когда его смещение максимально. Соответственно, максимальная скорость \(v_{\text{макс}}\) равна произведению амплитуды \(a\) колебаний на максимальную угловую скорость \(\omega\):

\[v_{\text{макс}} = a \omega\]

Подставим значения:

\[v_{\text{макс}} = 0.24 \cdot 8 \pi \approx 6.03 \, \text{м/с}\]

Теперь мы можем вычислить кинетическую энергию \(E_{\text{кин}}\):

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v_{\text{макс}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.240 \cdot (6.03)^2\]
\[E_{\text{кин}} \approx 4.34 \, \text{Дж}\]

Наконец, найдём полную энергию системы \(E_{\text{полн}}\), сложив потенциальную и кинетическую энергии:

\[E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = 7.71 + 4.34\]
\[E_{\text{полн}} \approx 12.05 \, \text{Дж}\]

Таким образом, полная энергия системы составляет примерно \(12.05\) Дж.