Какова плотность заряда на поверхности двух концентрических сфер с радиусами 10 и 20 см, если заряд равномерно

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Гаусса, которая связывает плотность заряда на поверхности с интегралом поля по замкнутой поверхности.

1. Начнем с определения плотности заряда на поверхности. Пусть \(q\) - заряд, \(S\) - площадь поверхности, а \(\sigma\) - плотность заряда на поверхности. Тогда плотность заряда на поверхности можно записать как: \(\sigma = \frac{q}{S}\).

2. Далее воспользуемся формулой для потенциала создаваемого точечным зарядом в некоторой точке пространства. Пусть \(V\) - потенциал, \(r\) - расстояние от точки до заряда, и \(k\) - постоянная Кулона. Тогда потенциал можно записать как: \(V = \frac{k \cdot q}{r}\).

3. Так как у нас имеются две концентрические сферы с радиусами 10 и 20 см, то по теореме Гаусса можем использовать только внутреннюю сферу радиусом 10 см. Заряд, распределенный с одинаковой плотностью, равномерно заполняет эту сферу.

4. Теорема Гаусса гласит, что интеграл электрического поля \(\vec{E}\) по замкнутой поверхности равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную \(\varepsilon_0\). Поэтому мы можем записать:

\(\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}\),

где \(\vec{E}\) - напряженность электрического поля, \(d\vec{S}\) - вектор элементарной площадки поверхности, \(q_{enc}\) - заряд, заключенный внутри поверхности, а \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная.

5. Так как заряд равномерно распределен с одинаковой плотностью, он можно выразить через плотность заряда и площадь поверхности сферы: \(q_{enc} = \sigma \cdot S\), где \(\sigma\) - плотность заряда, а \(S\) - площадь поверхности.

6. Заряд на поверхности внутренней сферы можно выразить через плотность заряда и ее площадь: \(q_{enc} = \sigma \cdot S_{int}\), где \(S_{int}\) - площадь поверхности внутренней сферы.

7. Заменим найденное значение \(q_{enc}\) в формуле теоремы Гаусса: \(\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{\sigma \cdot S_{int}}{\varepsilon_0}\).

8. Так как напряженность электрического поля радиальна (направлена от заряда к точке в пространстве), \(\vec{E}\) и \(d\vec{S}\) направлены параллельно друг другу. Поэтому можно записать \(\vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cdot dS\), где \(E\) - модуль напряженности электрического поля, а \(dS\) - элементарная площадка поверхности.

9. Воспользуемся симметрией задачи и заметим, что вектор напряженности электрического поля вектор предельного электростатического поля только радиальный к центру сферы.

10. Подставим полученные значения в формулу Гаусса и упростим: \(E \cdot \int dS = \frac{\sigma \cdot S_{int}}{\varepsilon_0}\).

11. Воспользуемся потенциалом, известному в центре и в бесконечности, чтобы найти \(\int dS\). Разность потенциалов между двумя точками в пространстве можно записать как:

\(\Delta V = V_1 - V_2 = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}\),

где \(\vec{E}\) - напряженность электрического поля, \(\Delta V\) - разность потенциалов, \(V_1\) и \(V_2\) - потенциалы в двух точках, а \(\vec{dr}\) - вектор элементарного перемещения в пространстве.

12. Запишем разность потенциалов между центром и бесконечностью: \(\Delta V = V_{\infty} - V_{center} = 0 - 300\ В = -300\ В\).

13. Воспользуемся радиальностью \(\vec{E}\) и заменим интеграл по площади на интеграл по радиусу нашей сферы: \(\int dS = \int 4\pi r^2 \: dr\).

14. Теперь мы можем записать разность потенциала через интеграл по радиусу: \(-300 = E \cdot \int 4\pi r^2 \: dr\) (1).

15. Воспользуемся формулой потенциала \(V\) и выразим модуль напряженности электрического поля \(E\): \(V = \frac{q}{r}\). Так как \(V = 300\ В\) и \(r = 10\ см = 0.1\ м\), получим: \(300 = \frac{q}{0.1}\).

16. Теперь мы можем записать модуль напряженности электрического поля через заряд \(q\) и радиус \(r\): \(E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 \cdot r^2}\).

17. Подставим полученные значения в уравнение (1): \(-300 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \int 0.1^2 \: dr\).

18. Теперь рассчитаем интеграл: \(\int 0.1^2 \: dr = 0.1^2 \cdot \int dr = 0.01 \cdot (r_2 - r_1) = 0.01 \cdot (0.2 - 0.1) = 0.01 \cdot 0.1 = 0.001\).

19. Подставим значение интеграла в уравнение: \(-300 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot 0.001\).

20. Для дальнейших вычислений заменим \(\varepsilon_0\) на значение электрической постоянной: \(\varepsilon_0 = 8.854187817 \cdot 10^{-12}\ Ф/м\).

21. Получим следующее уравнение: \(-300 = \frac{q}{4\pi \cdot 8.854187817 \cdot 10^{-12}} \cdot 0.001\).

22. Выразим заряд \(q\): \(q = -300 \cdot 4\pi \cdot 8.854187817 \cdot 10^{-12} \cdot 10^6\). В результате получим заряд \(q = -1056\).

23. Теперь, когда мы знаем заряд \(q\), можем вычислить плотность заряда на поверхности внутренней сферы.

24. Разделим заряд на площадь поверхности внутренней сферы: \(\sigma = \frac{q}{S_{int}} = \frac{-1056}{4\pi\cdot(0.1)^2}\).

25. Выполняем рассчет: \(\sigma = \frac{-1056}{4\pi\cdot0.01} = \frac{-1056}{0.1256} \approx -8402.53\ Кл/м^2\).

Ответ: Плотность заряда на поверхности внутренней сферы равна \(-8402.53\ Кл/м^2\).