Какова плотность заряда на поверхности двух концентрических сфер с радиусами 10 и 20 см, если заряд равномерно

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Гаусса, которая связывает плотность заряда на поверхности с интегралом поля по замкнутой поверхности.

1. Начнем с определения плотности заряда на поверхности. Пусть $q$ - заряд, $S$ - площадь поверхности, а $\sigma$ - плотность заряда на поверхности. Тогда плотность заряда на поверхности можно записать как: $\sigma =\frac{q}{S}$.

2. Далее воспользуемся формулой для потенциала создаваемого точечным зарядом в некоторой точке пространства. Пусть $V$ - потенциал, $r$ - расстояние от точки до заряда, и $k$ - постоянная Кулона. Тогда потенциал можно записать как: $V=\frac{k\cdot q}{r}$.

3. Так как у нас имеются две концентрические сферы с радиусами 10 и 20 см, то по теореме Гаусса можем использовать только внутреннюю сферу радиусом 10 см. Заряд, распределенный с одинаковой плотностью, равномерно заполняет эту сферу.

4. Теорема Гаусса гласит, что интеграл электрического поля $\overrightarrow{E}$ по замкнутой поверхности равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ${\epsilon }_0$. Поэтому мы можем записать:

$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{q_{enc}}{{\epsilon }_0}$,

где $\overrightarrow{E}$ - напряженность электрического поля, $d\overrightarrow{S}$ - вектор элементарной площадки поверхности, $q_{enc}$ - заряд, заключенный внутри поверхности, а ${\epsilon }_0$ - электрическая постоянная.

5. Так как заряд равномерно распределен с одинаковой плотностью, он можно выразить через плотность заряда и площадь поверхности сферы: $q_{enc}=\sigma \cdot S$, где $\sigma$ - плотность заряда, а $S$ - площадь поверхности.

6. Заряд на поверхности внутренней сферы можно выразить через плотность заряда и ее площадь: $q_{enc}=\sigma \cdot S_{int}$, где $S_{int}$ - площадь поверхности внутренней сферы.

7. Заменим найденное значение $q_{enc}$ в формуле теоремы Гаусса: $\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{\sigma \cdot S_{int}}{{\epsilon }_0}$.

8. Так как напряженность электрического поля радиальна (направлена от заряда к точке в пространстве), $\overrightarrow{E}$ и $d\overrightarrow{S}$ направлены параллельно друг другу. Поэтому можно записать $\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=E\cdot dS$, где $E$ - модуль напряженности электрического поля, а $dS$ - элементарная площадка поверхности.

9. Воспользуемся симметрией задачи и заметим, что вектор напряженности электрического поля вектор предельного электростатического поля только радиальный к центру сферы.

10. Подставим полученные значения в формулу Гаусса и упростим: $E\cdot \int dS=\frac{\sigma \cdot S_{int}}{{\epsilon }_0}$.

11. Воспользуемся потенциалом, известному в центре и в бесконечности, чтобы найти $\int dS$. Разность потенциалов между двумя точками в пространстве можно записать как:

$\mathrm{\Delta }V=V_1-V_2=-\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}$,

где $\overrightarrow{E}$ - напряженность электрического поля, $\mathrm{\Delta }V$ - разность потенциалов, $V_1$ и $V_2$ - потенциалы в двух точках, а $\overrightarrow{dr}$ - вектор элементарного перемещения в пространстве.

12. Запишем разность потенциалов между центром и бесконечностью: $\mathrm{\Delta }V=V_{\mathrm{\infty }}-V_{center}=0-300В=-300В$.

13. Воспользуемся радиальностью $\overrightarrow{E}$ и заменим интеграл по площади на интеграл по радиусу нашей сферы: $\int dS=\int 4\pi r^{2}dr$.

14. Теперь мы можем записать разность потенциала через интеграл по радиусу: $-300=E\cdot \int 4\pi r^{2}dr$ (1).

15. Воспользуемся формулой потенциала $V$ и выразим модуль напряженности электрического поля $E$: $V=\frac{q}{r}$. Так как $V=300В$ и $r=10см=0.1м$, получим: $300=\frac{q}{0.1}$.

16. Теперь мы можем записать модуль напряженности электрического поля через заряд $q$ и радиус $r$: $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0\cdot r^2}$.

17. Подставим полученные значения в уравнение (1): $-300=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \int {0.1}^{2}dr$.

18. Теперь рассчитаем интеграл: $\int {0.1}^{2}dr={0.1}^2\cdot \int dr=0.01\cdot (r_2-r_1)=0.01\cdot (0.2-0.1)=0.01\cdot 0.1=0.001$.

19. Подставим значение интеграла в уравнение: $-300=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot 0.001$.

20. Для дальнейших вычислений заменим ${\epsilon }_0$ на значение электрической постоянной: ${\epsilon }_0=8.854187817\cdot {10}^{-12}Ф/м$.

21. Получим следующее уравнение: $-300=\frac{q}{4\pi \cdot 8.854187817\cdot {10}^{-12}}\cdot 0.001$.

22. Выразим заряд $q$: $q=-300\cdot 4\pi \cdot 8.854187817\cdot {10}^{-12}\cdot {10}^6$. В результате получим заряд $q=-1056$.

23. Теперь, когда мы знаем заряд $q$, можем вычислить плотность заряда на поверхности внутренней сферы.

24. Разделим заряд на площадь поверхности внутренней сферы: $\sigma =\frac{q}{S_{int}}=\frac{-1056}{4\pi \cdot (0.1{)}^2}$.

25. Выполняем рассчет: $\sigma =\frac{-1056}{4\pi \cdot 0.01}=\frac{-1056}{0.1256}\approx -8402.53Кл/{м}^2$.

Ответ: Плотность заряда на поверхности внутренней сферы равна $-8402.53Кл/{м}^2$.