Какова площадь треугольника с проекциями двух его сторон на третью, равными 20 см и 14 см, и высотой, проведенной

Для того чтобы найти площадь треугольника с проекциями его сторон на третью, а также с известной высотой, нам необходимо использовать формулу для нахождения площади треугольника по его высоте и основанию.

Обозначим стороны треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), а высоту как \(h\).

В данной задаче известны проекции двух сторон треугольника на третью сторону: 20 см и 14 см. Обозначим эти проекции как \(x\) и \(y\).

Мы можем заметить, что проекции сторон треугольника на третью сторону образуют подобные треугольники с исходным треугольником. Это связано с тем, что параллельные линии, проходящие через вершины треугольника, создают соответствующие равные углы.

Таким образом, отношение проекции стороны к соответствующей стороне исходного треугольника будет равно отношению проекции к стороне второго подобного треугольника.

Используя данную информацию, мы можем записать следующие пропорции:

\[
\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{20}{c} = \frac{14}{h}
\]

Также, нам дана информация о проекциях сторон: \(x = 20\) см и \(y = 14\) см.

Мы можем использовать пропорцию \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\), чтобы найти отношение между сторонами \(a\) и \(b\):

\[
\frac{20}{a} = \frac{14}{b}
\]

Путем кросс-умножения, мы получим:

\[
20b = 14a \quad \Rightarrow \quad b = \frac{14a}{20} = \frac{7a}{10}
\]

Теперь, используя другую пропорцию \(\frac{20}{c} = \frac{14}{h}\), мы можем найти отношение между стороной \(c\) и высотой \(h\):

\[
\frac{20}{c} = \frac{14}{h}
\]

Опять же, кросс-умножаем:

\[
20h = 14c \quad \Rightarrow \quad h = \frac{14c}{20} = \frac{7c}{10}
\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника по основанию и высоте:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}
\]

В нашем случае, основание равно \(c\), а высота равна \(h\):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{7c}{10} = \frac{7c^2}{20}
\]

Итак, мы нашли формулу для площади треугольника в зависимости от его третьей стороны \(c\). Теперь нам нужно найти значение \(c\).

Обратимся к пропорции \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\), которую мы ранее получили:

\[
\frac{20}{a} = \frac{14}{b}
\]

Подставим значение \(b\), которое мы нашли ранее:

\[
\frac{20}{a} = \frac{14}{\frac{7a}{10}}
\]

Выполняя алгебраические вычисления, мы можем упростить это выражение:

\[
\frac{20}{a} = \frac{140}{7a} \quad \Rightarrow \quad \frac{20}{a} = \frac{20}{a} \quad \Rightarrow \quad a = a
\]

Таким образом, мы видим, что значение \(a\) может быть любым, так как любое число, подставленное вместо \(a\), удовлетворяет пропорции.

Итак, площадь треугольника зависит только от третьей стороны \(c\), и ее можно выразить с использованием этой стороны:

\[
S = \frac{7c^2}{20}
\]

Окончательный ответ: площадь треугольника с проекциями сторон 20 см и 14 см, и высотой проведенной к этой стороне равна \(\frac{7c^2}{20}\), где \(c\) - третья сторона треугольника.