Какова площадь треугольника, если его боковая сторона равна 15 см и синус острого угла при вершине равен 0,8?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, основанной на свойствах синуса.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины двух сторон треугольника, а \(C\) - угол между этими сторонами.

В данной задаче известны боковая сторона треугольника, \(a = 15\) см, и синус острого угла при вершине, \(\sin(C) = 0.8\). Наша задача - найти площадь треугольника \(S\).

Перед подстановкой значений в формулу, нам необходимо найти вторую сторону треугольника \(b\). Для этого мы можем использовать теорему синусов, которая связывает длины сторон и синус углов треугольника.

Теорема синусов формулируется следующим образом:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]
где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие противолежащие им углы.

В данной задаче мы знаем боковую сторону треугольника (\(a = 15\) см) и синус острого угла при вершине (\(\sin(C) = 0.8\)). Нам необходимо найти длину другой стороны (\(b\)).

Подставляя известные значения в теорему синусов, мы можем решить это уравнение относительно \(b\):
\[\frac{15}{\sin(90^\circ)} = \frac{b}{0.8}\]

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), упрощаем уравнение:
\[15 = \frac{b}{0.8}\]
\[b = 15 \cdot 0.8\]
\[b = 12\]

Теперь мы знаем длины сторон треугольника, \(a = 15\) см и \(b = 12\) см, и синус острого угла при вершине, \(\sin(C) = 0.8\). Мы можем подставить эти значения в формулу для площади треугольника и вычислить ее:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \cdot 0.8\]
\[S = 6 \cdot 15 \cdot 0.8\]
\[S = 72\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(72\) квадратных см.