Какова площадь региона, который находится между кривой y=1/3x^3, вертикальными линиями x=-3 и x=3, и осью x? Экзамен

Здравствуйте! Решим данную задачу поэтапно. Для начала, давайте определим, что такое площадь региона между графиком функции, вертикальными линиями и осью x.

Площадь региона между кривой \(y=\frac{1}{3}x^3\), вертикальными линиями \(x=-3\) и \(x=3\) и осью x можно рассчитать с помощью интеграла.

Шаг 1: Найти точки пересечения кривой с вертикальными линиями
Для начала, найдем точки пересечения кривой \(y=\frac{1}{3}x^3\) с вертикальными линиями \(x=-3\) и \(x=3\). Для этого, подставим значения x и найдем соответствующие значения y:
При \(x=-3\), \(y=\frac{1}{3}(-3)^3 = -\frac{27}{3}=-9\).
При \(x=3\), \(y=\frac{1}{3}(3)^3 = \frac{27}{3}=9\).

Шаг 2: Построить график функции
Теперь, построим график функции \(y=\frac{1}{3}x^3\) вместе с вертикальными линиями \(x=-3\) и \(x=3\). График будет выглядеть как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (0,0).

Шаг 3: Найти площадь региона
Далее, необходимо определить, какую площадь занимает регион между графиком функции, вертикальными линиями и осью x. Для этого, разобьем регион на две области: от \(x=-3\) до \(x=3\) и от \(x=-3\) до \(x=0\).

Область от \(x=-3\) до \(x=3\):
Для рассчета площади этой области, нам нужно вычислить следующий определенный интеграл:
\[\int_{-3}^{3} \frac{1}{3}x^3 \, dx.\]
Интегрируя это выражение, мы получаем:
\[\left[\frac{1}{12}x^4\right]_{-3}^{3} = \frac{1}{12}(3^4 - (-3)^4) = \frac{1}{12}(81 - 81) = \frac{1}{12} \cdot 0 = 0.\]

Область от \(x=-3\) до \(x=0\):
Для рассчета площади этой области, также нам нужно вычислить определенный интеграл:
\[\int_{-3}^{0} \frac{1}{3}x^3 \, dx.\]
Интегрируя это выражение, мы получаем:
\[\left[\frac{1}{12}x^4\right]_{-3}^{0} = \frac{1}{12}(0^4 - (-3)^4) = \frac{1}{12}(0 - 81) = \frac{1}{12} \cdot (-81) = -\frac{81}{12}.\]

Шаг 4: Сумма площадей областей
Чтобы найти общую площадь региона, нужно сложить площади двух областей:
\[0 + \left(-\frac{81}{12}\right) = -\frac{81}{12} = -6.75\]

Итак, площадь региона между кривой \(y=\frac{1}{3}x^3\), вертикальными линиями \(x=-3\) и \(x=3\) и осью x равна \(-6.75\).