Какова площадь прямоугольной трапеции ABCD с диагональю AC, которая является перпендикулярной боковой стороне

Для решения данной задачи, нам понадобятся основные свойства трапеции и знание геометрии.

1. Начнем с известных данных: у нас имеется прямоугольная трапеция ABCD, в которой диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и образует угол в 60° с основанием AD.

2. Рассмотрим треугольник ACB. Получается, что угол в нем между сторонами AC и BC равен 60°. Также, у нас есть прямоугольник ABCD, следовательно, угол между сторонами BC и CD также равен 90°.

3. Так как у нас имеется прямоугольный треугольник ACB, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями, чтобы найти значения его сторон. Например, можно использовать тангенс угла 60°:

\[\tan 60^\circ = \frac{{BC}}{{AC}}\]

4. Известно, что \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), поэтому:

\[\sqrt{3} = \frac{{BC}}{{AC}}\]

Мы получили отношение сторон BC и AC.

5. Также, из описания задачи видно, что диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Значит, у нас имеется прямоугольник ACDE, где DE является высотой трапеции. Высота трапеции перпендикулярна основаниям, поэтому CD и DE также перпендикулярны.

6. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ADE. В этом треугольнике у нас имеется угол 60° (поскольку диагональ AC образует угол 60° с основанием AD), и сторона AD является основанием трапеции.

7. Так как у нас есть угол 60° и противолежащая сторона AD, мы можем воспользоваться формулой для высот треугольника, содержащую синус угла:

\[\sin 60^\circ = \frac{{DE}}{{AD}}\]

Известно, что \(\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\), поэтому:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{DE}}{{AD}}\]

Теперь у нас есть соотношение между высотой DE и основанием AD трапеции.

8. Вспомним основные свойства трапеции. Площадь трапеции можно найти, умножив полусумму ее оснований на ее высоту:

\[S = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot DE\]

9. Обратимся к известным данным. Мы знаем, что AC является диагональю трапеции, а значит, она является основанием в треугольнике ACB. Также, у нас есть соотношение между основаниями AB и CD:

\(AB = 3CD\)

10. Возвращаемся к формуле площади трапеции:

\[S = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot DE\]

Подставляем известные значения:

\[S = \frac{{3CD + CD}}{2} \cdot DE\]
\[S = \frac{{4CD}}{2} \cdot DE\]
\[S = 2CD \cdot DE\]

11. Теперь мы должны найти значения CD и DE. Ранее в пунктах 4 и 7 мы получили соотношения:

\(\sqrt{3} = \frac{{BC}}{{AC}}\) (отношение сторон BC и AC)

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{DE}}{{AD}}\) (отношение сторон DE и AD)

12. Если мы будем рассматривать соотношение трех сторон из треугольника ADE (по теореме Пифагора):

\(AD^2 = DE^2 + AE^2\)

Мы можем заменить значения DE и AE из полученных выше отношений:

\(AD^2 = \left(\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot AD\right)^2 + \left(AD\right)^2\)

13. Раскрываем скобки и решаем полученное квадратное уравнение:

\(AD^2 = \frac{3}{4} \cdot AD^2 + AD^2\)
\(AD^2 = \frac{7}{4} \cdot AD^2\)

Получаем:

\(AD^2 = \frac{4}{7} \cdot AD^2\)

14. Отсюда можно понять, что \(\frac{3}{7}\) длины основания AD составляет высоту DE:

\(DE = \frac{3}{7} \cdot AD\)

А значит, длина стороны DE составляет \(\frac{3}{7}\) длины основания AD.

15. Возвращаемся к формуле площади трапеции:

\[S = 2CD \cdot DE\]

Подставляем полученное значение DE в формулу:

\[S = 2CD \cdot \left(\frac{3}{7} \cdot AD\right)\]

16. Мы знаем, что соотношение между основаниями AB и CD такое:

\(AB = 3CD\)

Значит, \(CD = \frac{1}{3} AB\)

17. Подставляем полученное значение CD в формулу площади трапеции:

\[S = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{3}{7} \cdot AD\right)\]

Упрощаем выражение:

\[S = \frac{2}{7} AB \cdot AD\]

18. Нам осталось найти AB и AD. Мы ранее установили, что \(AB = 3CD\), а также, у нас есть соотношение между сторонами BC и AC: \(\sqrt{3} = \frac{{BC}}{{AC}}\)

19. Сумма сторон треугольника ACB составляет основание AB:

\(AB = AC + BC\)

Подставляем значения:

\(AB = AC + \frac{{\sqrt{3}}}{AC} \cdot AC\)

\(AB = AC + \sqrt{3} \cdot AC\)
\(AB = (1 + \sqrt{3}) \cdot AC\)

20. Возвращаемся к формуле площади трапеции:

\[S = \frac{2}{7} AB \cdot AD\]

Подставляем полученное значение AB:

\[S = \frac{2}{7} \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot AC \cdot AD\]

21. Осталось найти AC и AD. Мы знаем, что диагональ AC образует угол 60° с основанием AD. Так как основание AD равно \(a\), длина стороны AC равна \(a \cdot \sqrt{3}\), где \(a\) - длина основания AD.

22. Подставляем полученные значения AC и AD в формулу площади трапеции:

\[S = \frac{2}{7} \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot (a \cdot \sqrt{3}) \cdot a\]

Раскрываем скобки и сокращаем выражение:

\[S = \frac{2}{7} \cdot 3 \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot a^2\]
\[S = \frac{6}{7} \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot a^2\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции ABCD с данными условиями равна \(\frac{6}{7} \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot a^2\), где \(a\) - длина основания AD.