Какова площадь прямоугольной трапеции ABCD с диагональю AC, которая является перпендикулярной боковой стороне

Для решения данной задачи, нам понадобятся основные свойства трапеции и знание геометрии.

1. Начнем с известных данных: у нас имеется прямоугольная трапеция ABCD, в которой диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и образует угол в 60° с основанием AD.

2. Рассмотрим треугольник ACB. Получается, что угол в нем между сторонами AC и BC равен 60°. Также, у нас есть прямоугольник ABCD, следовательно, угол между сторонами BC и CD также равен 90°.

3. Так как у нас имеется прямоугольный треугольник ACB, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями, чтобы найти значения его сторон. Например, можно использовать тангенс угла 60°:

$$\tan {60}^{\circ }=\frac{BC}{AC}$$

4. Известно, что $\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$, поэтому:

$$\sqrt{3}=\frac{BC}{AC}$$

Мы получили отношение сторон BC и AC.

5. Также, из описания задачи видно, что диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Значит, у нас имеется прямоугольник ACDE, где DE является высотой трапеции. Высота трапеции перпендикулярна основаниям, поэтому CD и DE также перпендикулярны.

6. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ADE. В этом треугольнике у нас имеется угол 60° (поскольку диагональ AC образует угол 60° с основанием AD), и сторона AD является основанием трапеции.

7. Так как у нас есть угол 60° и противолежащая сторона AD, мы можем воспользоваться формулой для высот треугольника, содержащую синус угла:

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{DE}{AD}$$

Известно, что $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DE}{AD}$$

Теперь у нас есть соотношение между высотой DE и основанием AD трапеции.

8. Вспомним основные свойства трапеции. Площадь трапеции можно найти, умножив полусумму ее оснований на ее высоту:

$$S=\frac{AB+CD}{2}\cdot DE$$

9. Обратимся к известным данным. Мы знаем, что AC является диагональю трапеции, а значит, она является основанием в треугольнике ACB. Также, у нас есть соотношение между основаниями AB и CD:

$AB=3CD$

10. Возвращаемся к формуле площади трапеции:

$$S=\frac{AB+CD}{2}\cdot DE$$

Подставляем известные значения:

$$S=\frac{3CD+CD}{2}\cdot DE$$
$$S=\frac{4CD}{2}\cdot DE$$
$$S=2CD\cdot DE$$

11. Теперь мы должны найти значения CD и DE. Ранее в пунктах 4 и 7 мы получили соотношения:

$\sqrt{3}=\frac{BC}{AC}$ (отношение сторон BC и AC)

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DE}{AD}$ (отношение сторон DE и AD)

12. Если мы будем рассматривать соотношение трех сторон из треугольника ADE (по теореме Пифагора):

$A{D}^2=D{E}^2+A{E}^2$

Мы можем заменить значения DE и AE из полученных выше отношений:

$A{D}^2={(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot AD)}^2+{\left(AD\right)}^2$

13. Раскрываем скобки и решаем полученное квадратное уравнение:

$A{D}^2=\frac{3}{4}\cdot A{D}^2+A{D}^2$
$A{D}^2=\frac{7}{4}\cdot A{D}^2$

Получаем:

$A{D}^2=\frac{4}{7}\cdot A{D}^2$

14. Отсюда можно понять, что $\frac{3}{7}$ длины основания AD составляет высоту DE:

$DE=\frac{3}{7}\cdot AD$

А значит, длина стороны DE составляет $\frac{3}{7}$ длины основания AD.

15. Возвращаемся к формуле площади трапеции:

$$S=2CD\cdot DE$$

Подставляем полученное значение DE в формулу:

$$S=2CD\cdot (\frac{3}{7}\cdot AD)$$

16. Мы знаем, что соотношение между основаниями AB и CD такое:

$AB=3CD$

Значит, $CD=\frac{1}{3}AB$

17. Подставляем полученное значение CD в формулу площади трапеции:

$$S=2\cdot \left(\frac{1}{3}AB\right)\cdot (\frac{3}{7}\cdot AD)$$

Упрощаем выражение:

$$S=\frac{2}{7}AB\cdot AD$$

18. Нам осталось найти AB и AD. Мы ранее установили, что $AB=3CD$, а также, у нас есть соотношение между сторонами BC и AC: $\sqrt{3}=\frac{BC}{AC}$

19. Сумма сторон треугольника ACB составляет основание AB:

$AB=AC+BC$

Подставляем значения:

$AB=AC+\frac{\sqrt{3}}{AC}\cdot AC$

$AB=AC+\sqrt{3}\cdot AC$
$AB=(1+\sqrt{3})\cdot AC$

20. Возвращаемся к формуле площади трапеции:

$$S=\frac{2}{7}AB\cdot AD$$

Подставляем полученное значение AB:

$$S=\frac{2}{7}\cdot (1+\sqrt{3})\cdot AC\cdot AD$$

21. Осталось найти AC и AD. Мы знаем, что диагональ AC образует угол 60° с основанием AD. Так как основание AD равно $a$, длина стороны AC равна $a\cdot \sqrt{3}$, где $a$ - длина основания AD.

22. Подставляем полученные значения AC и AD в формулу площади трапеции:

$$S=\frac{2}{7}\cdot (1+\sqrt{3})\cdot (a\cdot \sqrt{3})\cdot a$$

Раскрываем скобки и сокращаем выражение:

$$S=\frac{2}{7}\cdot 3\cdot (1+\sqrt{3})\cdot a^2$$
$$S=\frac{6}{7}\cdot (1+\sqrt{3})\cdot a^2$$

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции ABCD с данными условиями равна $\frac{6}{7}\cdot (1+\sqrt{3})\cdot a^2$, где $a$ - длина основания AD.