Какова площадь поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой периметры основания равны 30 и

Для начала давайте рассмотрим, что такое усеченная пирамида. Усеченная пирамида представляет собой геометрическое тело, имеющее два параллельных и равных по площадям основания, а остальные грани - треугольники. Так как в данной задаче основаниями являются треугольники, давайте обозначим их периметры как \( P_1 \) и \( P_2 \), соответственно.

Теперь давайте обратимся к формуле для нахождения площади поверхности усеченной пирамиды. Площадь поверхности такой пирамиды вычисляется как сумма площадей боковой поверхности и площадей двух оснований.

Боковая поверхность усеченной пирамиды состоит из нескольких треугольных граней. Каждая из них имеет определенную площадь, которую мы обозначим как \( S_{side} \). Всего у нас будет \( n \) таких граней. Для правильной треугольной усеченной пирамиды каждая из этих граней будет равносторонним треугольником, поэтому площадь каждой грани мы можем найти через формулу \( S_{side} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \), где \( a \) - длина стороны.

Также нам известно, что усеченная пирамида имеет два одинаковых основания, поэтому площадь каждого из них будет одинаковой и равна \( S_{base} \).

Следовательно, площадь поверхности усеченной пирамиды будет равна сумме площадей боковой поверхности и обоих оснований: \( S_{total} = S_{side} \cdot n + 2 \cdot S_{base} \).

Теперь нужно найти значения всех величин для данной задачи. Нам даны периметры основания \( P_1 = 30 \) и \( P_2 = 60 \), а апофема обозначена как \( a \).

Сначала найдем длины сторон каждого треугольника основания через периметры: для первого треугольника будет \( a_1 = \frac{{P_1}}{3} \), а для второго будет \( a_2 = \frac{{P_2}}{3} \).

Теперь найдем площадь каждого основания. Обозначим их как \( S_{base1} \) и \( S_{base2} \). Площадь равностороннего треугольника можно найти через формулу \( S_{base} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \). Подставляя значения сторон в формулу, получаем \( S_{base1} = \frac{{a_1^2 \sqrt{3}}}{4} \) и \( S_{base2} = \frac{{a_2^2 \sqrt{3}}}{4} \).

Теперь можем перейти к нахождению площади боковой поверхности. Мы знаем, что у усеченной пирамиды каждая боковая грань - равносторонний треугольник, поэтому для нее площадь можно найти через формулу \( S_{side} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \). Обратите внимание, что значение \( a \) для боковой поверхности будет равно апофеме, так как это высота равностороннего треугольника. Поэтому для первой грани площадь будет \( S_{side1} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \), а для второй \( S_{side2} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \).

Наконец, собираем все вместе и получаем площадь поверхности усеченной пирамиды:

\[ S_{total} = 2 \cdot S_{base1} + 2 \cdot S_{base2} + S_{side1} + S_{side2} \]
\[ S_{total} = 2 \cdot \frac{{a_1^2 \sqrt{3}}}{4} + 2 \cdot \frac{{a_2^2 \sqrt{3}}}{4} + \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} + \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]

Теперь вам остается только подставить значения \( a_1 \) и \( a_2 \) через периметры оснований и нашу апофему \( a \), и произвести вычисления.

Убедитесь, что все единицы измерения согласуются и округлите ответ до необходимого числа знаков после запятой для окончательного результата.