Какова площадь поверхности пирамиды SABC, если взяли точку P на ребре SA, делящую его в отношении 5:6 считая от вершины

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие пропорции и площадей подобных фигур.

Пусть обозначения будут следующими:
\(x\) - длина отрезка SP,
\(y\) - длина отрезка AP.

Из условия задачи известно, что \(SP:SA = 5:6\), поэтому можем записать пропорцию:
\(\frac{x}{x+y} = \frac{5}{6}\).

Раскроем пропорцию:
\(6x = 5x + 5y\),
\(x = 5y\).

Так как плоскость, проходящая через точку P, параллельна грани SBC, то ее пересечение с треугольной пирамидой SBC образует треугольник SBC".

Таким образом, SBC и SBC" - подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Так как SA и SC - смежные ребра пирамиды, а треугольник SBC - равносторонний, можно сказать, что сторона SC равна стороне SA.

Обозначим площадь поверхности пирамиды SABC как \(S\), а площадь поверхности пирамиды SBC" как \(S"\).

Тогда имеем:
\(\frac{S"}{S} = \left(\frac{SC"}{SA}\right)^2 = \left(\frac{SC}{SA}\right)^2 = 1^2 = 1\).

То есть, площадь меньшей пирамиды SBC" равна площади большей пирамиды SABC.

Итак, площадь поверхности пирамиды SABC равна площади треугольника SBC, которая равна

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot SC^2.\]

Учитывая, что сторона SC равна стороне SA, которая равна \(x+y\), получаем
площадь поверхности пирамиды SABC равна

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (x+y)^2.\]

Это и есть искомый ответ.