Какова площадь полной поверхности треугольной пирамиды с прямым углом у основания в 30 градусов и радиусом описанной

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы все было понятно. Дано, что у треугольной пирамиды прямой угол у основания, равный 30 градусам, и радиус описанной окружности в основании равен \(4\sqrt{3}\) см.

Первый шаг: Нам необходимо нарисовать треугольную пирамиду согласно условию задачи. Постараюсь нарисовать ее здесь для вас:

           A

          /\

         /  \

        /    \

       B______C

Дано \(AC = 4\sqrt{3}\) см радиус описанной окружности треугольника ABC.

Второй шаг: Нам понадобится находить длины боковых граней. Так как у нас имеется прямой угол, то треугольник ABC является равнобедренным. Значит, \(AB = BC\).

Третий шаг: Для расчета площади полной поверхности пирамиды нам понадобится найти боковые грани. Каждая боковая грань треугольной пирамиды - это треугольник, поэтому вычислим площадь треугольника ABC и умножим ее на 3, так как у нас 3 боковые грани.

Четвертый шаг: Найдем площадь треугольника ABC. Для этого нам понадобится формула площади треугольника по его сторонам и углу между ними, которая называется формулой Герона. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, и \(p\) - полупериметр треугольника.

Полупериметр \(p\) можно найти, сложив длины сторон треугольника и разделив получившуюся сумму на 2:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2}\]

Пятый шаг: Теперь найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона. Нам известны только стороны треугольника, поэтому подставим значения длин сторон в формулу:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{AB + AB + 4\sqrt{3}}{2} = \frac{2AB + 4\sqrt{3}}{2} = AB + 2\sqrt{3}\]

Используя \(p = AB + 2\sqrt{3}\), получаем:

\[S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - AB)(p - AC)} = \sqrt{(AB + 2\sqrt{3})(AB + 2\sqrt{3})(AB + 2\sqrt{3})(AB + 2\sqrt{3} - AB)(AB + 2\sqrt{3} - AB)(AB + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3})}\]

\[= \sqrt{(AB + 2\sqrt{3})^2 \cdot 2\sqrt{3}}\]

\[= (AB + 2\sqrt{3})\sqrt{6}\]

Шестой шаг: Так как у нас 3 боковые грани, умножим площадь треугольника ABC на 3, чтобы найти площадь боковых граней:

\[S_{\text{боковых граней}} = 3 \cdot S_{ABC}\]
\[= 3 \cdot (AB + 2\sqrt{3})\sqrt{6}\]

Седьмой шаг: Теперь нужно найти площадь основания пирамиды. Площадь основания треугольной пирамиды - это площадь самого треугольника ABC:

\[S_{\text{основания}} = S_{ABC}\]
\[= (AB + 2\sqrt{3})\sqrt{6}\]

Восьмой шаг: Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковых граней:

\[S_{\text{полной поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}}\]
\[= (AB + 2\sqrt{3})\sqrt{6} + 3 \cdot (AB + 2\sqrt{3})\sqrt{6}\]
\[= (AB + 2\sqrt{3})(1 + 3)\sqrt{6}\]
\[= (AB + 2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{6}\]
\[= 4\sqrt{6}AB + 8\sqrt{18}\]
\[= 4\sqrt{6}AB + 8\sqrt{9} \cdot 2\]
\[= 4\sqrt{6}AB + 8 \cdot 3 \cdot 2\]
\[= 4\sqrt{6}AB + 48\]

Таким образом, площадь полной поверхности данной треугольной пирамиды с прямым углом у основания в 30 градусов и радиусом описанной окружности в основании \(4\sqrt{3}\) см равна \(4\sqrt{6}AB + 48\).