Какова площадь полной поверхности прямой призмы, основание которой - прямоугольный треугольник с одним катетом равным

Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нам необходимо найти площадь ее боковой поверхности и площадь двух оснований, а затем сложить все три значения.

Для начала найдем площадь основания призмы, которое, как указано в задаче, является прямоугольным треугольником с катетом 6 см и острым углом 45°. Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b,$$

где a и b - катеты треугольника.

В нашем случае один из катетов равен 6 см, а второй катет можно найти с помощью формулы синуса в прямоугольном треугольнике:

$$\sin 45°=\frac{a}{6}.$$

Раскрывая уравнение, получаем:

$$a=6\cdot \sin 45°=6\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}.$$

Используя эти значения, мы можем вычислить площадь основания:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{6}{\sqrt{2}}=\dots$$

Решая это уравнение, получим $S_1=18{\text{см}}^2$.

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности. Поскольку призма имеет прямоугольное основание, боковые стороны будут прямоугольными параллелограммами. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту:

$$S_2=a\cdot h,$$

где a - длина одной стороны основания (нашим основанием является прямоугольник), h - высота.

Чтобы найти высоту, мы можем использовать объем призмы:

$$V=S_1\cdot h.$$

Используя известные значения, мы можем найти высоту:

$$108=18\cdot h,$$
$$h=\frac{108}{18}=6\text{см}.$$

Теперь, зная длину одной из сторон основания и высоту, мы можем найти площадь боковой поверхности:

$$S_2=\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot 6=\dots$$

Решая это уравнение, получим $S_2=36{\text{см}}^2$.

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы будет равна сумме площадей основания и боковой поверхности:

$$S=S_1+2\cdot S_2=\dots$$

Подсчитав это выражение, мы найдем площадь полной поверхности призмы.