Какова площадь полной поверхности прямой призмы, основание которой - прямоугольный треугольник с одним катетом равным

Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нам необходимо найти площадь ее боковой поверхности и площадь двух оснований, а затем сложить все три значения.

Для начала найдем площадь основания призмы, которое, как указано в задаче, является прямоугольным треугольником с катетом 6 см и острым углом 45°. Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]

где a и b - катеты треугольника.

В нашем случае один из катетов равен 6 см, а второй катет можно найти с помощью формулы синуса в прямоугольном треугольнике:

\[\sin 45° = \frac{a}{6}.\]

Раскрывая уравнение, получаем:

\[a = 6 \cdot \sin 45° = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}.\]

Используя эти значения, мы можем вычислить площадь основания:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{6}{\sqrt{2}} = \dots\]

Решая это уравнение, получим \(S_1 = 18 \, \text{см}^2\).

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности. Поскольку призма имеет прямоугольное основание, боковые стороны будут прямоугольными параллелограммами. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту:

\[S_2 = a \cdot h,\]

где a - длина одной стороны основания (нашим основанием является прямоугольник), h - высота.

Чтобы найти высоту, мы можем использовать объем призмы:

\[V = S_1 \cdot h.\]

Используя известные значения, мы можем найти высоту:

\[108 = 18 \cdot h,\]
\[h = \frac{108}{18} = 6 \, \text{см}.\]

Теперь, зная длину одной из сторон основания и высоту, мы можем найти площадь боковой поверхности:

\[S_2 = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot 6 = \dots\]

Решая это уравнение, получим \(S_2 = 36 \, \text{см}^2\).

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы будет равна сумме площадей основания и боковой поверхности:

\[S = S_1 + 2 \cdot S_2 = \dots\]

Подсчитав это выражение, мы найдем площадь полной поверхности призмы.