Какова площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой двугранный угол при стороне основания

Для решения данной задачи нам понадобится формула для вычисления площади полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды можно найти, сложив площадь основания с площадью всех боковых граней.

Для начала определим площадь основания пирамиды. В данной задаче у нас правильная треугольная пирамида, что означает, что основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{base} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]

где \( a \) - длина стороны основания.

Теперь нам необходимо найти площадь всех боковых граней. Вершиной пирамиды служит ее верхний угол, который составляет 30 градусов. Для нахождения площади каждой боковой грани используем формулу:

\[ S_{side} = \frac{{a \cdot l}}{2} \]

где \( l \) - длина бока пирамиды, \( a \) - длина стороны основания.

Формула для вычисления бока пирамиды с помощью радиуса описанной окружности:

\[ l = 2 \cdot r \cdot \sin \left( \frac{{\pi}}{3} \right) \]

где \( r \) - радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности пирамиды:

\[ S_{total} = S_{base} + 3 \cdot S_{side} \]

Подставляя значения в данные формулы, получаем:

\[ S_{base} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]

\[ l = 2 \cdot r \cdot \sin \left( \frac{{\pi}}{3} \right) \]

\[ S_{side} = \frac{{a \cdot l}}{2} \]

\[ S_{total} = S_{base} + 3 \cdot S_{side} \]

Теперь осталось только подставить числовые значения и выполнить необходимые вычисления.