Какова площадь осевого сечения цилиндра, если его диагональ составляет 10 дм и сечение является квадратом с площадью

Для решения этой задачи, нам нужно использовать знания о свойствах цилиндра и применить их к данным, которые у нас есть.

Цилиндр имеет два осевых сечения - верхнее и нижнее. Оба этих сечения имеют одинаковую форму, в данном случае - квадрат. Мы знаем, что площадь квадрата составляет 20 дм².

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, нам нужно определить, как соотносятся площади осевого сечения и площади боковой поверхности цилиндра.

Известно, что боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, длина которого равна периметру осевого сечения, а ширина - высоте (высота цилиндра).

В данной задаче у нас есть информация о диагонали цилиндра, которая равна 10 дм. Мы можем воспользоваться этой информацией, чтобы найти высоту цилиндра.

Так как осевое сечение квадратное, то диагональ этого квадрата будет равна диаметру цилиндра. Диаметр цилиндра вдоль оси равен диаметру круглого основания, так как основание и осевое сечение находятся на одной линии.

Теперь нам нужно найти радиус круглого основания цилиндра. Для этого мы делим диаметр на 2. В нашем случае диаметр равен 10 дм, так что радиус будет равен \(r = \frac {10}{2} = 5\) дм.

Зная радиус основания и высоту, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра. Формула для этого выглядит так:

\[S_{бок} = 2\pi rh\]

где \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота цилиндра. Подставляя значения из нашей задачи, мы получаем:

\[S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \cdot h = 10\pi h \]

Но нам нужно найти площадь осевого сечения цилиндра. Из свойств цилиндра мы знаем, что площадь боковой поверхности равна площади осевого сечения, умноженной на высоту.

То есть,

\[S_{ос} = S_{бок} \cdot h\]

Подставляя значение площади боковой поверхности цилиндра, мы получаем:

\[S_{ос} = (10\pi h) \cdot h = 10\pi h^2\]

Нам осталось только найти значение \(h\). Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, стороны которого равны сторонам квадрата.

По теореме Пифагора, \(h^2 = c^2 - a^2\), где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) - катет треугольника. В нашем случае диагональ квадрата является гипотенузой, а сторона квадрата - катетом.

Таким образом,

\[h^2 = 10^2 - 20 = 100 - 20 = 80\]

Теперь подставляя это значение \(h\) в формулу для площади осевого сечения, мы получаем:

\[S_{ос} = 10\pi \cdot 80 = 800\pi\]

Итак, площадь осевого сечения цилиндра равна \(800\pi\) квадратных дециметров или приближенно \(2513\) квадратных дециметров.