Какова площадь кружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом 45 градусов

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для площади круга и свойств равнобедренного треугольника. Давайте начнем с первого шага.

Шаг 1: Найдем основание треугольника:
Дано, что основание треугольника равно 6 см.

Шаг 2: Найдем боковую сторону треугольника:
Так как угол при вершине равен 45 градусов, то у треугольника две равные стороны. Значит, боковая сторона также будет равна 6 см.

Шаг 3: Найдем высоту треугольника:
Высоту равнобедренного треугольника можно найти, используя теорему Пифагора. Так как основание равно 6 см, а каждая равная сторона равна 6 см, то мы можем использовать соотношение:
\[\text{{Основание}}^2 = \text{{Высота}}^2 + \left(\frac{{\text{{Боковая сторона}}}}{2}\right)^2\]

Подставим известные значения:
\[6^2 = \text{{Высота}}^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2\]
\[36 = \text{{Высота}}^2 + 9\]
\[27 = \text{{Высота}}^2\]
\[\text{{Высота}} = \sqrt{27}\]

Значит, высота треугольника равна \(\sqrt{27}\) см.

Шаг 4: Найдем радиус окружности:
Радиусом окружности, описанной вокруг треугольника, является высота треугольника. Из предыдущего шага мы нашли, что высота равна \(\sqrt{27}\) см.

Шаг 5: Найдем площадь круга:
Площадь круга можно найти, используя формулу \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности. Подставим значение радиуса в формулу:
\[S = \pi \times (\sqrt{27})^2\]
\[S = 27\pi\]

Итак, площадь круга, описанного вокруг равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом 45 градусов при вершине, равна \(27\pi\) (квадратных сантиметров).