Какова площадь кругового сектора, если его длина дуги равна 10π и составляет пять девятых от площади круга?

Чтобы найти площадь кругового сектора, нужно знать формулу для вычисления площади круга и использовать данную информацию о длине дуги.

Формула для площади круга:
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Дано, что длина дуги равна 10π и составляет пять девятых от площади круга. "Составлять пять девятых от площади круга" означает, что площадь сектора составляет \( \frac{5}{9} \) от общей площади круга.

Для начала найдём радиус круга. Для этого воспользуемся формулой для длины дуги:
\[ \text{Длина дуги} = 2 \pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \]

Где \(\theta\) - это центральный угол, измеряемый в градусах.

Подставим известные значения в формулу:
\[ 10\pi = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \]

Так как угол \(\theta\) неизвестен, но нам дано, что площадь сектора составляет пять девятых от площади круга, можно использовать соотношение площадей:
\[\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{5}{9}\]

Подставим значения для площадей:
\[\frac{\text{площадь сектора}}{\pi r^2} = \frac{5}{9}\]

Из этого уравнения можно выразить \(\pi r^2\) (площадь круга):
\[\text{площадь круга} = \frac{\text{площадь сектора} \cdot 9}{5}\]

Теперь можно искать площадь сектора и площадь круга.

Площадь сектора:
\[\text{площадь сектора} = \frac{5}{9} \cdot \text{площадь круга}\]

Теперь подставим это выражение для площади сектора в формулу для площади круга:
\[\frac{5}{9} \cdot \text{площадь круга} = \pi r^2\]

Из этого уравнения можно выразить площадь круга:
\[\text{площадь круга} = \frac{9}{5} \cdot \pi r^2\]

Теперь, когда у нас есть выражение для площади круга, можно подставить его в уравнение для площади сектора и решить его:

\[\frac{5}{9} \cdot \left( \frac{9}{5} \cdot \pi r^2 \right) = \pi r^2\]

Упростим это уравнение:
\[\cancel{\frac{5}{9}} \cdot \left( \cancel{\frac{9}{5}} \cdot \pi r^2 \right) = \pi r^2\]

Теперь заметим, что \(\pi r^2\) есть общий множитель на обеих сторонах уравнения. Поделим обе части на \(\pi r^2\) для его исключения:
\[\cancel{\pi r^2} = \cancel{\pi r^2}\]

Это означает, что площадь сектора и площадь круга одинаковы.

Таким образом, площадь кругового сектора, если его длина дуги равна 10π и составляет пять девятых от площади круга, равна площади круга.

Ответ: Площадь кругового сектора равна площади круга.