Какова площадь кругового сектора, если его длина дуги равна 10π и составляет пять девятых от площади круга?

Чтобы найти площадь кругового сектора, нужно знать формулу для вычисления площади круга и использовать данную информацию о длине дуги.

Формула для площади круга:
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Дано, что длина дуги равна 10π и составляет пять девятых от площади круга. "Составлять пять девятых от площади круга" означает, что площадь сектора составляет $\frac{5}{9}$ от общей площади круга.

Для начала найдём радиус круга. Для этого воспользуемся формулой для длины дуги:
$$\text{Длина дуги}=2\pi r\cdot \frac{\theta }{{360}^{\circ }}$$

Где $\theta$ - это центральный угол, измеряемый в градусах.

Подставим известные значения в формулу:
$$10\pi =2\pi r\cdot \frac{\theta }{{360}^{\circ }}$$

Так как угол $\theta$ неизвестен, но нам дано, что площадь сектора составляет пять девятых от площади круга, можно использовать соотношение площадей:
$$\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{круга}}}=\frac{5}{9}$$

Подставим значения для площадей:
$$\frac{\text{площадь сектора}}{\pi r^2}=\frac{5}{9}$$

Из этого уравнения можно выразить $\pi r^2$ (площадь круга):
$$\text{площадь круга}=\frac{\text{площадь сектора}\cdot 9}{5}$$

Теперь можно искать площадь сектора и площадь круга.

Площадь сектора:
$$\text{площадь сектора}=\frac{5}{9}\cdot \text{площадь круга}$$

Теперь подставим это выражение для площади сектора в формулу для площади круга:
$$\frac{5}{9}\cdot \text{площадь круга}=\pi r^2$$

Из этого уравнения можно выразить площадь круга:
$$\text{площадь круга}=\frac{9}{5}\cdot \pi r^2$$

Теперь, когда у нас есть выражение для площади круга, можно подставить его в уравнение для площади сектора и решить его:

$$\frac{5}{9}\cdot (\frac{9}{5}\cdot \pi r^2)=\pi r^2$$

Упростим это уравнение:
$$\text{cancel}\frac{5}{9}\cdot (\text{cancel}\frac{9}{5}\cdot \pi r^2)=\pi r^2$$

Теперь заметим, что $\pi r^2$ есть общий множитель на обеих сторонах уравнения. Поделим обе части на $\pi r^2$ для его исключения:
$$\text{cancel}\pi r^2=\text{cancel}\pi r^2$$$$\text{cancel}\pi r^2=\text{cancel}\pi r^2$$

Это означает, что площадь сектора и площадь круга одинаковы.

Таким образом, площадь кругового сектора, если его длина дуги равна 10π и составляет пять девятых от площади круга, равна площади круга.

Ответ: Площадь кругового сектора равна площади круга.