Какова площадь кругового сегмента с основанием 8 ом, если градусная мера дуги сегмента составляет 60°?

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые формулы, связанные с кругами.

Формула для площади круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Формула для длины дуги:

\[L_{\text{дуги}} = 2\pi r \cdot \left(\frac{\theta}{360^\circ}\right)\]

где \(r\) - радиус круга, а \(\theta\) - градусная мера дуги.

Первым шагом найдем радиус круга. Мы знаем, что длина дуги \(L_{\text{дуги}}\) равна 8 метрам, а градусная мера дуги \(\theta\) равна 60°. Подставим эти значения в формулу для длины дуги и найдем \(r\):

\[8 = 2\pi r \cdot \left(\frac{60}{360}\right)\]

Упростим выражение:

\[8 = \frac{\pi r}{3}\]

Перемножим оба выражения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[24 = \pi r\]

Теперь, чтобы найти площадь кругового сегмента, необходимо найти высоту сегмента. Высота кругового сегмента - это расстояние от основания до окружности, проходящее через центр круга. В этой задаче сегмент имеет прямую основание, поэтому высота сегмента равна радиусу круга \(r\).

Теперь, используя найденный радиус \(r\), можем рассчитать площадь кругового сегмента с помощью формулы для площади круга:

\[S_{\text{сегмента}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{треугольника}}\]

где \(S_{\text{треугольника}}\) - площадь треугольника, образованная двумя радиусами и хордой.

Площадь круга можно выразить через радиус:

\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота})\]

В данном случае, основание треугольника равно длине дуги сегмента, то есть \(L_{\text{дуги}}\), а высота треугольника равна радиусу \(r\).

Теперь можем приступить к вычислениям:

1. Найдем радиус \(r\):
\[24 = \pi r \implies r = \frac{24}{\pi}\]

2. Найдем площадь круга \(S_{\text{круга}}\):
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{24}{\pi}\right)^2 = \frac{576}{\pi} \, \text{кв.м}\]

3. Найдем площадь треугольника \(S_{\text{треугольника}}\):
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot L_{\text{дуги}} \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{24}{\pi} = \frac{96}{\pi} \, \text{кв.м}\]

4. Найдем площадь кругового сегмента \(S_{\text{сегмента}}\):
\[S_{\text{сегмента}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{треугольника}} = \frac{576}{\pi} - \frac{96}{\pi} = \frac{480}{\pi} \, \text{кв.м}\]

Таким образом, площадь кругового сегмента с основанием 8 метров и градусной мерой дуги 60° равна \(\frac{480}{\pi}\) квадратных метров.