Какова площадь круга с хордой длиной 4 см и внутренним углом, опирающимся на неё?

Хорда круга - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. В данной задаче нам дана хорда длиной 4 см и внутренний угол, опирающийся на эту хорду.

Чтобы найти площадь круга, образованного этой хордой, нужно найти радиус окружности, которой принадлежит эта хорда.

Прежде чем приступить к решению, вспомним некоторые свойства окружности:

1. Любой угол, опирающийся на хорду и находящийся внутри круга, является половиной центрального угла, опирающегося на ту же самую хорду.
2. Центральный угол всегда имеет величину, равную удвоенной величине внутреннего угла.

Теперь, используя эти свойства, мы можем решить задачу.

1. Рассмотрим половину внутреннего угла, опирающегося на нашу хорду. Обозначим его как \(\alpha\).
2. Обратимся к свойству 2 и запишем уравнение: \(2\alpha\) = величина внутреннего угла.
3. Теперь, зная, что хорда является диаметром окружности, мы можем рассмотреть центральный угол, опирающийся на эту хорду.
4. Пользуясь свойством 1, мы знаем, что центральный угол в два раза больше внутреннего угла. То есть, величина центрального угла равна \(2\alpha\).
5. Обратимся к формуле для площади сектора \(S = \frac{{\alpha r^2}}{2}\), где \(S\) - площадь, \(\alpha\) - величина центрального угла, \(r\) - радиус окружности.
6. Подставим значения и получим \(S = \frac{{2\alpha r^2}}{2}\).
7. Проанализируем уравнение: \(\alpha\) находится и в числителе, и в знаменателе, значит оно сокращается. Остается \(S = \alpha r^2\).

Таким образом, мы пришли к выражению для площади круга: \(S = \alpha r^2\).

На данном этапе мы не можем определить конкретное численное значение площади, так как неизвестен радиус окружности. Для того чтобы найти его, нам необходимо использовать другие свойства окружности.

По задаче известна длина хорды, равная 4 см. Зная, что хорда является диаметром окружности, мы можем использовать формулу для нахождения радиуса окружности по диаметру:

\[r = \frac{{d}}{2}\],

где \(d\) - длина диаметра (равна длине хорды).

Подставим значение диаметра в формулу:

\[r = \frac{{4 \ см}}{2} = 2 \ см\].

Таким образом, радиус окружности \(r\) равен 2 см.

Теперь, имея значение радиуса, мы можем вычислить площадь круга, используя формулу \(S = \alpha r^2\).

Значение внутреннего угла не указано в задаче, поэтому предположим, что внутренний угол равен 60 градусам (это типичное значение для равностороннего треугольника).

Таким образом, имеем:

\(\alpha = 60^{\circ}\),
\(r = 2 \ см\).

Подставим значения в формулу и рассчитаем площадь круга:

\[S = \alpha r^2 = 60^{\circ} \cdot (2 \ см)^2 = 60^{\circ} \cdot 4 \ см^2 = 240 \ градусов \cdot см^2\].

Таким образом, площадь круга, образованного хордой длиной 4 см и внутренним углом, опирающимся на неё, равна 240 градусам квадратным сантиметров.