Какова площадь боковой поверхности прямой призмы, основание которой представляет собой равнобедренную трапецию

Для начала, давайте разберемся в том, что такое боковая поверхность прямой призмы. Боковая поверхность представляет собой боковой поверхности призмы без ее оснований.

Чтобы решить эту задачу, нужно знать формулу для площади боковой поверхности треугольной призмы. Формула имеет вид:

\[S = a \times p\]

где \(a\) - длина основания треугольника, а \(p\) - периметр основания треугольника.

Давайте сначала найдем периметр основания треугольника. Поскольку основание представляет собой равнобедренную трапецию, нам понадобится найти длины ее сторон.

По условию, мы знаем, что длины параллельных сторон равны 8 см и 2 см, и острый угол трапеции равен 60°. Это означает, что мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, используя центральный угол между параллельными сторонами.

Сначала найдем длину боковой стороны треугольника. Мы можем использовать тригонометрический закон синусов:

\[\sin(60^\circ) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Поскольку противоположная сторона равна 2 см, мы можем найти гипотенузу:

\[\text{{гипотенуза}} = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\sin(60^\circ)}}\]

\[\text{{гипотенуза}} = \frac{2}{{\sin(60^\circ)}}\]

Теперь, чтобы найти длину другой стороны треугольника, мы можем использовать тригонометрический закон косинусов:

\[\cos(60^\circ) = \frac{{\text{{прилежащая сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Поскольку мы знаем длину прилежащей стороны (8 см) и длину гипотенузы, мы можем найти длину прилежащей стороны:

\[\text{{прилежащая сторона}} = \text{{гипотенуза}} \times \cos(60^\circ)\]

\[\text{{прилежащая сторона}} = \frac{2}{{\sin(60^\circ)}} \times \cos(60^\circ)\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления периметра треугольника. Поскольку треугольник имеет две равные стороны, мы можем использовать формулу:

\[p = \text{{сторона 1}} + \text{{сторона 2}} + \text{{сторона 3}}\]

\[p = \text{{прилежащая сторона}} + \text{{прилежащая сторона}} + \text{{боковая сторона}}\]

\[p = \frac{2}{{\sin(60^\circ)}} \times \cos(60^\circ) + \frac{2}{{\sin(60^\circ)}} \times \cos(60^\circ) + 8\]

Теперь мы можем найти периметр. Выполняя вычисления, получим:

\[p = \left(\frac{2}{{\sin(60^\circ)}} \times \cos(60^\circ)\right) \times 2 + 8\]

\[p = \frac{2}{{\sin(60^\circ)}} \times \cos(60^\circ) + 8\]

\[p = \frac{2}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}}} \times \frac{1}{2} + 8\]

\[p = \frac{2 \times 2}{\sqrt{3}} + 8\]

\[p = \frac{4}{\sqrt{3}} + 8\]

Теперь, когда мы знаем периметр основания треугольника (\(p\)), мы можем найти площадь боковой поверхности призмы (\(S\)). Подставляя значение периметра в формулу, получим:

\[S = a \times p\]

\[S = 2 \times \left(\frac{4}{\sqrt{3}} + 8\right)\]

\[S = 2 \times \frac{4}{\sqrt{3}} + 2 \times 8\]

\[S = \frac{8}{\sqrt{3}} + 16\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы равна \(\frac{8}{\sqrt{3}} + 16\) квадратных сантиметров.