Какова площадь боковой поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды с основаниями длины 3 см и 9

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно вычислить длину бокового ребра усеченной пирамиды. Это можно сделать, используя теорему Пифагора.

Из условия задачи мы знаем, что основания пирамиды являются правильными четырехугольниками. То есть, у нас есть два квадрата со сторонами 3 см и 9 см. Высотой пирамиды мы не располагаем информацией. Поэтому, чтобы решить эту задачу, мы предположим, что высота пирамиды равна \(h\) см.

Для нахождения длины бокового ребра \(l\) нашею задачей является нахождение высоты треугольника на одном из оснований пирамиды.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения этой высоты:

\[\text{высота} = \sqrt{\text{длина основания}^2 - \left(\frac{\text{длина основания}}{2}\right)^2}\]

Для первого основания (длина 3 см) мы получаем:

\[\text{высота} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Для второго основания (длина 9 см) мы получаем:

\[\text{высота} = \sqrt{9^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2} = \sqrt{81 - \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{243}{4}} = \frac{\sqrt{243}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть длина бокового ребра \(l = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) и длина основания \(d = 3 + 9 = 12\) см, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot \text{высота}\]

Периметр основания пирамиды равен \(p = 4 \cdot \text{длина бокового ребра}\). Подставим все в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}\right) = 6\sqrt{3} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}\right) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot 12 \cdot 3 = 216 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной четырехугольной пирамиды равна \(216 \, \text{см}^2\).