Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, у которой основание имеет сторону длиной

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды нужно вычислить площадь каждой боковой грани и затем сложить их.

По определению, высота пирамиды проходит из вершины перпендикулярно основанию. Так как наша пирамида - правильная, то высота является биссектрисой боковой грани. Также, апофема - это радиус описанной окружности восстановленной про основание пирамиды.

Для начала найдем высоту пирамиды.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, который образуется между половиной длины основания, высотой пирамиды и апофемой:

\[\text{основание} = 4.5 \text{ см}\]
\[\text{апофема} = 5 \text{ см}\]

Выразим высоту пирамиды, обозначив ее \(h\):

\[(\frac{\text{основание}}{2})^2 + h^2 = \text{апофема}^2\]

\[(\frac{4.5}{2})^2 + h^2 = 5^2\]

\[2.25 + h^2 = 25\]

\[h^2 = 25 - 2.25\]

\[h^2 = 22.75\]

\[h = \sqrt{22.75} \approx 4.768\]

Теперь, чтобы найти площадь каждой боковой грани, воспользуемся формулой:

\[Площадь\ грани = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

Поскольку основание пирамиды - четырехугольник, то его площадь равна:

\[Площадь\ основания = \text{длина} \times \text{ширина}\]

Так как наше основание является правильным четырехугольником, то длина и ширина равны.

Таким образом, площадь основания:

\[Площадь\ основания = 4.5 \times 4.5 = 20.25 \text{ см}^2\]

Площадь боковой грани:

\[Площадь\ каждой\ боковой\ грани = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 4.768\]

\[Площадь\ каждой\ боковой\ грани \approx 10.752\]

Так как наша пирамида имеет 4 боковых грани, то площадь боковой поверхности равна:

\[Площадь\ боковой\ поверхности = 4 \times Площадь\ каждой\ боковой\ грани\]

\[Площадь\ боковой\ поверхности \approx 43.008\]

Теперь у нас есть несколько вариантов ответа: 90 кв. см, 45 кв. см и 101,25 кв. см. Из наших вычислений видно, что правильный ответ равен около 43.008 кв. см, поэтому ни один из предложенных вариантов не подходит. Возможно, в задании была ошибка или опечатка, и правильный ответ не был указан.