Какова площадь боковой поверхности конуса, если угол, образуемый образующей и плоскостью основания, составляет пи/3

Рассмотрим данный вопрос подробнее. Для начала, давайте разберемся в определениях и формулах, связанных с конусом.

Конус - это геометрическое тело, имеющее круглую основу и сходящуюся в одну точку вершину. У конуса есть несколько характеристик, которые нам потребуются для решения задачи.

Образующая (l) - это линия, соединяющая вершину конуса и точку на его основании. Образующая является наклонной стороной конуса.

Угол, образуемый образующей и плоскостью основания (α), - это угол между основанием и образующей конуса.

Касательная (r) - это расстояние от центра основания до образующей.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью следующей формулы:

\[S = \pi \cdot r \cdot l\]

Теперь давайте применим эти определения и формулу к данной задаче.

У нас дано, что угол, образуемый образующей и плоскостью основания, составляет \(\frac{\pi}{3}\), а расстояние от центра основания до образующей равно \(r\).

Мы хотим найти площадь боковой поверхности конуса. Для этого нам необходимо найти значение образующей (l).

Для нахождения образующей (l) нам понадобится использовать свойства тригонометрии. Мы можем использовать тангенс угла (так как у нас дана противоположная и прилежащая стороны) для нахождения образующей.

По определению тангенса угла \(\alpha\):

\[\tan(\alpha) = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{r}{l}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{r}{l}\]

\[\sqrt{3} = \frac{r}{l}\]

Далее нам нужно найти значение образующей (l) по известным значениям касательной (r) и угла \(\alpha\):

\[l = \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{r}{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{r}{\sqrt{3}}\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса (S), можем использовать формулу:

\[S = \pi \cdot r \cdot l\]

Подставляя значения, получаем:

\[S = \pi \cdot r \cdot \left(\frac{r}{\sqrt{3}}\right)\]

Данное выражение можно упростить, умножив \(r\) и \(\frac{r}{\sqrt{3}}\):

\[S = \pi \cdot \frac{r^2}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, мы нашли формулу для площади боковой поверхности конуса, используя заданные данные. Вы можете использовать данную формулу для расчета площади боковой поверхности конуса с известным значением касательной (\(r\)).