Какова площадь боковой поверхности конуса, если длина окружности его основания равна 8 и длина образующей равна

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для подсчёта площади боковой поверхности конуса \[S = \pi \cdot r \cdot l\], где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - математическая константа, округленная до 3.14 или до 3.14159, \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - длина образующей конуса.

В задаче нам дана длина окружности основания конуса, равная 8. Это значит, что длина окружности может быть найдена по формуле \(C = 2 \pi r\), где \(C\) - длина окружности, а \(r\) - радиус основания.

Поэтому мы можем выразить радиус \(r\) через длину окружности \(C\):

\[C = 2 \pi r\]

\[8 = 2 \pi r\]

Разделим обе части уравнения на \(2 \pi\):

\[\frac{8}{2 \pi} = r\]

\[\frac{4}{\pi} = r\]

Теперь нам нужно найти длину образующей конуса \(l\). Мы можем использовать теорему Пифагора для этого. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенузой является длина образующей \(l\), а катетами - радиус основания \(r\) и высота конуса \(h\). Таким образом, у нас есть следующие отношения:

\[l^2 = r^2 + h^2\]

Мы можем переписать это уравнение, выразив высоту конуса \(h\) через длину образующей \(l\) и радиус основания \(r\):

\[h = \sqrt{l^2 - r^2}\]

Теперь у нас есть выражение для высоты конуса \(h\), которое мы можем использовать в формуле для подсчёта площади боковой поверхности конуса:

\[S = \pi \cdot r \cdot l\]

Подставим выражение для высоты \(h\) в формулу:

\[S = \pi \cdot r \cdot \sqrt{l^2 - r^2}\]

Итак, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, мы должны подставить значения радиуса \(r\) и длины образующей \(l\) в данную формулу:

\[S = \pi \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \sqrt{l^2 - \left(\frac{4}{\pi}\right)^2}\]

Теперь мы можем рассчитать площадь боковой поверхности конуса с помощью этой формулы, если у нас есть числовые значения для радиуса \(r\) и длины образующей \(l\).