Какова общая масса двойной звезды Капеллы при известных значениях ее орбитальной большой полуоси (0,85 а. е.) и периода

Чтобы вычислить общую массу двойной звезды Капеллы, мы можем использовать третий закон Кеплера, который говорит о связи между периодом обращения планеты (или, в данном случае, звезды) и ее орбитальной большой полуосью. Формула закона Кеплера выглядит следующим образом:

\[ T^2 = \frac{4 \pi^2}{G(M_1 + M_2)} a^3 \]

Где:
- \( T \) - период обращения звезды (в данном случае, 0,285 года);
- \( G \) - гравитационная постоянная (\( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \));
- \( M_1 \) и \( M_2 \) - массы звезды Капеллы и ее спутника (которую мы и пытаемся найти);
- \( a \) - орбитальная большая полуось (в данном случае, 0,85 а.е., но давайте переведем ее в метры для удобства вычислений).

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выразить общую массу звезды Капеллы и ее спутника, сокращенную как \( M = M_1 + M_2 \). Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Переведем орбитальную большую полуось в метры. Для этого умножим значение в астрономических единицах (а.е.) на коэффициент перевода, равный приблизительно \( 1.496 \times 10^{11} \) метров.

\[ a = 0.85 \, \text{а.е.} \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м/а.е.} \]

Шаг 2: Подставим известные значения в формулу закона Кеплера:

\[ (0.285 \, \text{года})^2 = \frac{4 \pi^2}{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2} \frac{M}{a^3} \]

Шаг 3: Решим уравнение относительно \( M \), объединив все константы и известные значения:

\[ M = \frac{4 \pi^2 \cdot a^3}{G \cdot T^2} \]

Шаг 4: Подставим значения, которые мы получили:

\[ M = \frac{4 \pi^2 \cdot (0.85 \times 1.496 \times 10^{11})^3}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot (0.285)^2} \]

После выполнения всех необходимых вычислений получаем:

\[ M \approx 6.5 \times 10^{30} \, \text{кг} \]

Таким образом, общая масса двойной звезды Капеллы примерно равна \( 6.5 \times 10^{30} \) кг.