Какова новая частота собственных колебаний в колебательном контуре после замены конденсатора, если она составляла

Чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится формула, связывающая частоту собственных колебаний и емкость конденсатора в колебательном контуре. Формула имеет вид:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Где:
\(f\) - частота собственных колебаний,
\(L\) - индуктивность контура,
\(C\) - емкость конденсатора.

Теперь давайте посмотрим, как изменение частоты собственных колебаний связано с заменой конденсатора. Если изначально частота была 30 кГц, а теперь стала 40 кГц, значит, произошло увеличение частоты.

Для решения этой задачи, мы должны предположить, что индуктивность контура осталась неизменной, так как сказано, что была только замена конденсатора. Поэтому мы можем сосредоточиться только на изменении емкости.

Пусть \(C_1\) - изначальная емкость конденсатора (неизвестная), и \(C_2\) - новая емкость конденсатора (известная). Мы хотим найти новую частоту собственных колебаний \(f_2\).

Сначала мы можем записать формулу для изначальной частоты собственных колебаний:

\[f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}\]

А теперь формулу для новой частоты собственных колебаний:

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}\]

Мы знаем, что изначальная частота была 30 кГц, а новая частота стала 40 кГц:

\[f_1 = 30 \text{ кГц}\]
\[f_2 = 40 \text{ кГц}\]

Мы хотим найти новую емкость \(C_2\), поэтому давайте решим уравнение для \(C_2\).

Сначала подставим известные значения в уравнение для \(f_1\):

\[30 \text{ кГц} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C_1}}\]

Теперь подставим известные значения в уравнение для \(f_2\):

\[40 \text{ кГц} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C_2}}\]

Теперь перепишем эти уравнения в виде:

\[\sqrt{L \cdot C_1} = \frac{1}{2\pi \cdot 30 \text{ кГц}}\]
\[\sqrt{L \cdot C_2} = \frac{1}{2\pi \cdot 40 \text{ кГц}}\]

Возведём каждое уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(L \cdot C_1 = \left(\frac{1}{2\pi \cdot 30 \text{ кГц}}\right)^2\)
\(L \cdot C_2 = \left(\frac{1}{2\pi \cdot 40 \text{ кГц}}\right)^2\)

Теперь давайте найдём выражение для \(C_2\):

\[C_2 = \frac{\left(\frac{1}{2\pi \cdot 40 \text{ кГц}}\right)^2}{L}\]

Таким образом, новая емкость конденсатора равна \(\frac{\left(\frac{1}{2\pi \cdot 40 \text{ кГц}}\right)^2}{L}\).

Давайте теперь приведем эту формулу к числовому значению. Пусть значение индуктивности \(L\) равно, например, 10 Гн (у нас нет информации о нем, поэтому просто предположим некоторое значение).

Тогда, подставив это значение в формулу, получим:

\[C_2 = \frac{\left(\frac{1}{2\pi \cdot 40 \text{ кГц}}\right)^2}{10 \text{ Гн}}\]

Вычислив данное выражение, мы найдём новую емкость \(C_2\).

Данный подробный и обстоятельный подход к решению задачи поможет школьнику лучше понять каждый шаг и процесс решения.