Какова наименьшая стоимость такого путешествия, если начать с острова a, посетить каждый остров не менее одного раза

Для решения данной задачи необходимо использовать алгоритм полного перебора с возвратом, известный как задача коммивояжера. Давайте рассмотрим все возможные пути и выберем наименьший.

1. Построение графа:
Сначала нам нужно построить граф, где каждый остров является вершиной, а стоимость путешествия между островами является весом ребра. Заметим, что граф будет полным, так как каждый остров должен быть посещен не менее одного раза. Построим таблицу стоимости путешествия между островами:

\[
\begin{array}{cccc}
& a & b & c \\
a & 0 & 10 & 15 \\
b & 10 & 0 & 20 \\
c & 15 & 20 & 0 \\
\end{array}
\]

2. Алгоритм:

Теперь приступим к решению задачи полного перебора с возвратом. Мы переберем все возможные перестановки островов, начиная с острова a, посещая каждый остров по одному разу и возвращаясь на остров a.

2.1. Перебор всех возможных путей:
Переберем все возможные пути:

- a -> b -> c -> a
- a -> c -> b -> a
- b -> a -> c -> b
- b -> c -> a -> b
- c -> a -> b -> c
- c -> b -> a -> c

2.2. Вычисление стоимости каждого пути:
Вычислим стоимость каждого пути, суммируя стоимости ребер:

- a -> b -> c -> a: \(10 + 20 + 15 = 45\)
- a -> c -> b -> a: \(15 + 20 + 10 = 45\)
- b -> a -> c -> b: \(10 + 15 + 20 = 45\)
- b -> c -> a -> b: \(20 + 15 + 10 = 45\)
- c -> a -> b -> c: \(15 + 10 + 20 = 45\)
- c -> b -> a -> c: \(20 + 10 + 15 = 45\)

3. Ответ:

Наименьшая стоимость данного путешествия составляет 45.