Какова минимальная сумма длин кодовых слов для букв Г и Д, чтобы код удовлетворял условию Фано? Условие Фано гласит

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Для начала, объясню, что такое код Фано. Код Фано – это префиксный код, где ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает однозначную декодируемость сообщений.

Чтобы найти минимальную сумму длин кодовых слов для букв Г и Д, удовлетворяющих условию Фано, мы можем использовать алгоритм Фано. Алгоритм Фано позволяет построить оптимальное префиксное кодирование для заданного набора символов.

Шаг 1: Упорядочим буквы Г и Д в порядке убывания частоты их появления в сообщении. Предположим, что частота появления буквы Г равна \(f_1\), а частота появления буквы Д равна \(f_2\).

Шаг 2: Разделим буквы на две группы таким образом, чтобы сумма частот в каждой группе была близка к равной (или очень близкой) половине суммы исходных частот. Пусть первая группа будет состоять из буквы с большей частотой, а вторая группа – из буквы с меньшей частотой.

Шаг 3: Добавим бит 0 к кодовым словам в первой группе и бит 1 к кодовым словам во второй группе.

Шаг 4: Продолжим делить каждую группу на две подгруппы, учитывая частоты букв в каждой подгруппе, и повторим шаг 3 для каждой новой группы.

Шаг 5: Продолжим разделение на подгруппы до тех пор, пока каждая группа не будет состоять только из одной буквы. Каждому кодовому слову будет соответствовать последовательность из 0 и 1, обозначающая путь от корня дерева до листа, где находится данная буква.

Теперь, для примера, рассмотрим случай, когда частота появления буквы Г равна 5, а частота появления буквы Д равна 3.

1. Упорядочим буквы Г и Д: Г, Д.
2. Разделим их на две группы: {Г} и {Д}.
3. Добавим бит 0 к кодовым словам в первой группе и бит 1 к кодовым словам во второй группе: 0 для Г и 1 для Д.
4. Теперь наши группы выглядят так: {Г[0]} и {Д[1]}.
5. Продолжим разделение: {Г[0]} можно оставить без изменений, так как это единственная буква в группе.
Для группы {Д[1]} также добавим единичный бит: {Д[10]}.
6. Теперь у нас есть две кодовых последовательности: код для буквы Г – 0, код для буквы Д – 10.
Минимальная сумма длин кодовых слов для букв Г и Д равна 2.

Таким образом, минимальная сумма длин кодовых слов для букв Г и Д, чтобы код удовлетворял условию Фано, равна 2.