Какова мера угла C в треугольнике ABC, если сторона BC равна 6 см, сторона AC равна 6√2 см, а угол B равен 45 градусов?

Для решения этой задачи мы можем использовать закон синусов, который связывает длины сторон треугольника с синусами соответствующих углов. В данном случае нам известны стороны BC и AC, а также угол B. Мы хотим найти меру угла C.

Для начала, запишем закон синусов:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

где A и B - углы треугольника, против которых стоят стороны BC и AC соответственно.

Мы знаем, что сторона BC равна 6 см, сторона AC равна 6√2 см, а угол B равен 45 градусов. Подставим известные значения в формулу:

\[\frac{6}{\sin A} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}\]

Сокращаем числители и получаем:

\[\frac{1}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Обратите внимание, что \(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Теперь избавляемся от знаменателя, возводя обе части равенства в степень -1:

\[\sin A = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Теперь найдем значения угла A, использовав обратный синус:

\[A = \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Вычислив значение угла A, мы найдем меру угла C, так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов:

\[C = 180^\circ - A - B\]

Теперь давайте вычислим значения:

\[\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[A = \arcsin{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = 45^\circ\]

\[C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\]

Таким образом, мера угла C в треугольнике ABC равна 90 градусов.

Это решение основано на применении закона синусов и обратной функции синуса. Мы использовали известные значения сторон и углов для вычисления меры угла C.