Какова мера одного из меньших углов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 18 и площадь равна 40,5√3?

Давайте решим задачу!

У нас есть прямоугольный треугольник, и мы знаем, что его гипотенуза равна 18, а площадь равна \(40,5\sqrt{3}\).

Для начала, давайте найдем длины катетов треугольника, используя формулу для площади прямоугольного треугольника. Формула для площади прямоугольного треугольника выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times b\]

где \(S\) - площадь треугольника, а \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставляя известные значения, получаем:

\[40,5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Теперь давайте найдем длины катетов. Учитывая, что гипотенуза равна 18, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение катетов. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставляя значение гипотенузы, получаем:

\[18^2 = a^2 + b^2\]

\[324 = a^2 + b^2\]

Теперь нам нужно решить систему уравнений из двух уравнений для нахождения двух неизвестных - \(a\) и \(b\).
У нас есть уравнение для площади треугольника:

\[40,5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

И у нас есть уравнение, полученное из теоремы Пифагора:

\[324 = a^2 + b^2\]

Давайте решим эти уравнения методом подстановки или методом исключения переменной. Что быстрее и проще для вас?

Метод подстановки:

Из уравнения для площади треугольника:

\[40,5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Мы можем выразить одну переменную через другую:

\[a = \frac{2 \times (40,5\sqrt{3})}{b}\]

Подставим это значение в уравнение из теоремы Пифагора:

\[324 = \left(\frac{2 \times (40,5\sqrt{3})}{b}\right)^2 + b^2\]

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:

\[324 = \frac{4 \times 40,5^2 \times 3}{b^2} + b^2\]

Мы можем умножить оба выражения на \(b^2\) для избавления от знаменателя:

\[324b^2 = 4 \times 40,5^2 \times 3 + b^4\]

Сокращаем и переносим все члены в левую сторону:

\[b^4 - 324b^2 + 4 \times 40,5^2 \times 3 = 0\]

Это уравнение является квадратным уравнением относительно \(b^2\). Можно решить его, используя квадратное уравнение. Я продолжаю и вычисляю ответ.

(Рассчет будет продолжен в следующем сообщении.)