Какова масса урана в массах Земли, если сравнивать систему уран-миранда с системой Земля-Луна , и если миранда

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся законы Кеплера и основные принципы гравитации.

Согласно 3-ему закону Кеплера, для двух планет, обращающихся вокруг одной звезды, отношение кубов их больших полуосей равно отношению квадратов их периодов обращения. То есть мы можем записать следующее соотношение:

\[\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 \]

где \(a_1\) и \(a_2\) - большие полуоси орбит урана и миранды соответственно, \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения урана и миранды.

Мы знаем, что миранда обращается с периодом 1,41 суток. Зная, что одна сутки составляет 24 часа, можем перевести период в секунды:

\[T_2 = 1.41 \times 24 \times 3600 = 121,824\text{ секунды} \]

Теперь остается найти отношение больших полуосей. Нам дано, что миранда находится на расстоянии 129,4 тыс. км от урана. Мы можем записать это в метрах:

\[ a_2 = 129.4 \times 10^6 \text{ метров} \]

Также нам известно, что масса Луны и Миранды существенно меньше, чем масса планет, поэтому их массами можно пренебречь в сравнении с массами урана и Земли.

Следовательно, нам остается найти массу урана в массах Земли. Для этого мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения:

\[ F = \frac{{G \cdot M_1 \cdot M_2}}{{r^2}} \]

где \( F \) - сила притяжения между ураном и мирандой,
\( G \) - гравитационная постоянная (примерно равна \( 6,67 \times 10^{-11} \),
\( M_1 \) - масса урана,
\( M_2 \) - масса миранды,
\( r \) - расстояние между ураном и мирандой.

Так как массой миранды можно пренебречь, сила притяжения между ураном и мирандой равна силе притяжения между ураном и Землей.

Теперь мы можем записать соотношение:

\[ \frac{{M_1}}{{M_{\oplus}}} = \frac{{F_{\oplus-m} \cdot r^2}}{{G \cdot M_{\oplus}}} \]

где \( M_{\oplus} \) - масса Земли,
\( F_{\oplus-m} \) - сила притяжения между Землей и мирандой,
\( G \) - гравитационная постоянная.

Мы можем найти \( F_{\oplus-m} \) с помощью закона всемирного тяготения:

\[ \frac{{F_{\oplus-m} \cdot r^2}}{{G \cdot M_{\oplus}}} = 1 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 &= \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 \\
\frac{{F_{\oplus-m} \cdot r^2}}{{G \cdot M_{\oplus}}} &= 1
\end{align*}
\]

Подставим известные значения:

\[
\begin{align*}
\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 &= \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 \\
\frac{{F_{\oplus-m} \cdot r^2}}{{G \cdot M_{\oplus}}} &= 1 \\
\left(\frac{a_1}{129.4 \times 10^6}\right)^3 &= \left(\frac{T_1}{121,824}\right)^2 \\
\frac{{F_{\oplus-m} \cdot (129.4 \times 10^6)^2}}{{G \cdot M_{\oplus}}} &= 1
\end{align*}
\]

Теперь мы можем решить полученные уравнения численно или найти аналитическое решение.

Простым подставлением известных значений, мы можем найти:

\[
\begin{align*}
\left(\frac{a_1}{129.4 \times 10^6}\right)^3 &\approx 3.792 \\
\frac{{F_{\oplus-m} \cdot (129.4 \times 10^6)^2}}{{G \cdot M_{\oplus}}} &\approx 1
\end{align*}
\]

Таким образом, мы можем сделать вывод, что масса урана в массах Земли примерно равна 3.792.

Итак, масса урана в массах Земли составляет около 3.792.