Какова масса стержня длиной 100 см, если его линейная плотность изменяется в соответствии с уравнением бета

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть уравнение для линейной плотности стержня: \(\beta = 20x + 0.15x^2\) г/см, где \(x\) - расстояние от одного из концов стержня.

Для нахождения массы стержня, мы должны интегрировать линейную плотность по всей его длине. Для этого мы должны знать границы интегрирования. Вы сказали, что стержень имеет длину 100 см. Расстояние \(x\) меняется от 0 до 100 см.

Итак, мы можем записать формулу для массы стержня \(m\) как интеграл от \(\beta\) по длине стержня:

\[m = \int_{0}^{100} \beta \, dx\]

Теперь мы можем приступить к интегрированию. Мы знаем, что \(\beta = 20x + 0.15x^2\), поэтому мы можем подставить это значение в наше выражение для массы:

\[m = \int_{0}^{100} (20x + 0.15x^2) \, dx\]

Проинтегрируем это выражение. Для этого нам понадобится использовать правила интегрирования. Сначала проинтегрируем первое слагаемое \(20x\):

\[\int 20x \, dx = 10x^2 + C_1\]

Здесь \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Теперь проинтегрируем второе слагаемое \(0.15x^2\):

\[\int 0.15x^2 \, dx = \frac{0.15}{3}x^3 + C_2\]

Здесь \(C_2\) - другая постоянная интегрирования.

Теперь мы можем записать окончательное выражение для массы стержня:

\[m = \left[10x^2 + \frac{0.15}{3}x^3\right]_{0}^{100}\]

Вычислим значения в верхней и нижней границе:

\[m = \left(10 \cdot 100^2 + \frac{0.15}{3} \cdot 100^3 \right) - \left(10 \cdot 0^2 + \frac{0.15}{3} \cdot 0^3 \right)\]

\[m = \left(10 \cdot 100^2 + \frac{0.15}{3} \cdot 100^3 \right) - (0 + 0)\]

\[m = 10 \cdot 100^2 + \frac{0.15}{3} \cdot 100^3\]

\[m = 10 \cdot 100^2 + \frac{0.15}{3} \cdot 100^3\]

\[m = 10 \cdot 10,000 + \frac{0.15}{3} \cdot (100)^3\]

\[m = 100,000 + \frac{0.15}{3} \cdot 1,000,000\]

\[m = 100,000 + \frac{0.15}{3} \cdot 1,000,000\]

\[m = 100,000 + 50,000\]

\[m = 150,000\]

Итак, масса стержня длиной 100 см, с линейной плотностью, изменяющейся по уравнению \(\beta = 20x + 0.15x^2\) г/см, равняется 150,000 г (или 150 кг).

Пожалуйста, обратите внимание, что мои вычисления и решение могут быть сложными для некоторых школьников. Поэтому всегда проверяйте свое решение и задавайте вопросы, если вам что-то непонятно.