Какова масса груза, если он был сначала поднят вертикально вверх, а затем опущен с ускорением, равным 6 м/с^2

Для решения этой задачи сначала нам понадобится некоторые физические законы и формулы. В данной задаче используются законы движения и второй закон Ньютона.

1. Закон движения: \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
2. Второй закон Ньютона: \(F = ma\), где \(F\) - сила, \(m\) - масса, \(a\) - ускорение.

Сначала рассмотрим движение груза, когда он поднимается вертикально вверх. Запишем закон движения для данного времени:

\[s_1 = ut_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \tag{1}\]

Здесь \(s_1\) - расстояние, которое груз пройдет вверх, \(t_1\) - время подъема, а \(a_1\) - ускорение при подъеме. Также известно, что скорость груза в верхней точке равна 0, поэтому у нас есть еще одно уравнение:

\[v_1 = u + a_1t_1 = 0 \tag{2}\]

Здесь \(v_1\) - скорость груза при подъеме.

Теперь рассмотрим движение груза, когда он опускается с ускорением \(a_2 = 6 \, \text{м/с}^2\). Запишем закон движения для данного времени:

\[s_2 = ut_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \tag{3}\]

Здесь \(s_2\) - расстояние, которое груз пройдет вниз, \(t_2\) - время спуска.

Теперь обратимся к разности показаний динамометра. Разность показаний динамометра равна силе, с которой груз тянется вниз. Таким образом, разность показаний динамометра равна силе тяжести, умноженной на массу \(m\) груза:

\[F = mg \tag{4}\]

Здесь \(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь у нас есть система уравнений, и мы можем решить ее, чтобы найти массу груза \(m\).

Обратимся к уравнению (2). Учитывая, что \(v_1 = 0\) и \(a_1 = -g\), мы можем найти \(t_1\):

\[0 = u - gt_1 \implies t_1 = \frac{u}{g} \tag{5}\]

Подставим \(t_1\) из уравнения (5) в уравнение (1) и заменим \(a_1\) на \(-g\):

\[s_1 = u \cdot \frac{u}{g} + \frac{1}{2} (-g) \left(\frac{u}{g}\right)^2 \tag{6}\]

Далее, в уравнении (6) учтем, что \(s_1 = s_2\), так как груз движется вверх и затем вниз:

\[u \cdot \frac{u}{g} + \frac{1}{2} (-g) \left(\frac{u}{g}\right)^2 = s_2 \tag{7}\]

Теперь рассмотрим уравнение (3). В этом уравнении \(u\) - скорость груза при спуске, которую мы можем найти, подставив \(v_1 = 0\) и \(t_1 = \frac{u}{g}\) в уравнение (2):

\[0 = u - g \cdot \frac{u}{g} \implies u = g \tag{8}\]

Подставим \(u\) из уравнения (8) в уравнение (3) и заменим \(a_2\) на \(6 \, \text{м/с}^2\):

\[s_2 = g \cdot t_2 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot t_2^2 \tag{9}\]

Теперь у нас есть система уравнений (7) и (9), которую мы можем решить, чтобы найти массу груза \(m\).

Подставим \(s_1\) и \(s_2\) в уравнение (7) и упростим выражение:

\[g^2 \left(\frac{1}{g}\right) + \frac{1}{2} (-g) \left(\frac{1}{g}\right)^2 = s_2 \tag{10}\]

\[g - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{g} = s_2 \tag{11}\]

\[g^2 - \frac{1}{2} = g \cdot s_2 \tag{12}\]

\[g^2 - g \cdot s_2 - \frac{1}{2} = 0 \tag{13}\]

Это квадратное уравнение относительно \(g\), которое мы можем решить, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac \tag{14}\]

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \tag{15}\]

\[D = 1 + 2 \tag{16}\]

\[D = 3 \tag{17}\]

\(D > 0\), поэтому у уравнения (13) есть два решения для \(g\):

\[g_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \tag{18}\]
\[g_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \tag{19}\]

Так как ускорение свободного падения \(g\) положительно, мы используем \(g_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\).

Теперь мы можем найти массу груза \(m\), подставив \(g = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) в уравнение (4):

\[29.4 = m \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot g \tag{20}\]

\[29.4 = m \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \tag{21}\]

\[29.4 = m \cdot \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{4} \tag{22}\]

\[29.4 = m \cdot \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} \tag{23}\]

\[29.4 = m \cdot \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} \tag{24}\]

Для упрощения дальнейших вычислений, мы можем сократить коэффициенты:

\[29.4 = m \cdot (1 + 0.5\sqrt{3}) \tag{25}\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \(1 + 0.5\sqrt{3}\), чтобы изолировать \(m\):

\[m = \frac{29.4}{1 + 0.5\sqrt{3}} \tag{26}\]

Далее вычисляем численное значение из уравнения (26).