Какова масса двойной звезды Процион, учитывая, что период обращения ее спутника вокруг главной звезды составляет

Чтобы найти массу двойной звезды Процион, мы можем использовать Третий закон Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг звезды и большую полуось его орбиты. Формула для третьего закона Кеплера выглядит следующим образом:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 r^3}}{{G(M_1 + M_2)}}\]

Где:
- \(T\) - период обращения спутника вокруг звезды (в данном случае 39 лет)
- \(r\) - большая полуось орбиты (в данном случае 13 а.е., которые переведем в метры)
- \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.6743 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\))
- \(M_1\) и \(M_2\) - массы звезды и спутника соответственно (что мы хотим найти)

Давайте приступим к решению задачи:

Шаг 1: Переведем астрономические единицы в метры:
1 а.е. = 1.496 \times 10^{11} \, \text{м}
Таким образом, 13 а.е. = 13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м}

Шаг 2: Подставим известные значения в формулу Третьего закона Кеплера:
\( (39 \, \text{лет})^2 = \frac{{4\pi^2 (13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3}}{{G(M_1 + M_2)}} \)

Шаг 3: Решим уравнение относительно суммы масс \( M_1 + M_2 \):
\( (39 \, \text{лет})^2 \times G = 4\pi^2 (13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3 (M_1 + M_2) \)

Шаг 4: Найдем массу двойной звезды Процион, выразив его через массу спутника:
\( M_1 = 2M_2 \) (предполагаем, что масса главной звезды в два раза больше массы спутника)

Шаг 5: Подставим найденное в Шаге 4 предположение в уравнение:
\( (39 \, \text{лет})^2 \times G = 4\pi^2 (13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3 (2M_2 + M_2) \)
\( (39 \, \text{лет})^2 \times G = 4\pi^2 (13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3 \times 3M_2 \)

Шаг 6: Разрешим уравнение относительно массы спутника \( M_2 \):
\( M_2 = \frac{{(39 \, \text{лет})^2 \times G}}{{4\pi^2 (13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3 \times 3}} \)

Шаг 7: Вычислим \( M_2 \) с использованием известных значений и посчитаем массу главной звезды \( M_1 \) (2M_2):
Подставим значения в формулу:
\( M_2 = \frac{{(39 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 \, \text{сек})^2 \times 6.6743 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2}}{{4\pi^2 (13 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3 \times 3}} \)

Зафиксируем результат:

\( M_2 = 0.0059 \, \text{кг} \) (округлено до 4 значащих цифр)
\( M_1 = 2M_2 = 0.0118 \, \text{кг} \) (округлено до 4 значащих цифр)

Таким образом, масса главной звезды Процион составляет около 0.0118 кг и масса спутника около 0.0059 кг.