Какова максимальная скорость пули, если она пробивает оба диска, которые вращаются синхронно с частотой

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать принцип сохранения импульса.

Итак, давайте начнем с пошагового решения:

Шаг 1: Рассчитаем скорость вращения дисков
Известно, что диски вращаются синхронно с частотой 75 Гц. Частота вращения (f) выражается в оборотах в секунду.
Мы можем найти период вращения (T) по формуле:

\[T = \frac{{1}}{{f}}\]

Таким образом, период вращения дисков равен:

\[T = \frac{{1}}{{75}} \, с\]

Шаг 2: Найдем угловую скорость вращения дисков
Угловая скорость (ω) связана с периодом вращения следующим образом:

\[ω = \frac{{2π}}{{T}}\]

Где 2π равно полному обороту. Подставляя значение периода, получаем:

\[ω = \frac{{2π}}{{\frac{{1}}{{75}}}} = 150π \, рад/c\]

Шаг 3: Рассчитаем линейную скорость окружности в пути отверстия во втором диске
Линейная скорость на окружности связана с угловой скоростью выражением:

\[v = rω\]

Где r - радиус окружности. Диски поворачиваются друг относительно друга, поэтому линейная скорость будет зависеть от радиуса каждого диска. Предположим, что радиус первого диска (r₁) равен R₁, а радиус второго диска (r₂) равен R₂. Тогда линейная скорость окружности смещенного отверстия во втором диске будет:

\[v = R₂ω\]

Шаг 4: Рассчитаем время
Расстояние между дисками составляет 0,5 метра. Мы можем использовать следующую формулу:

\[v = \frac{{s}}{{t}}\]

Где v - скорость, s - расстояние и t - время. Расстояние между дисками равно скорости умноженной на время, поэтому:

\[0,5 = v \cdot t\]

Отсюда можно выразить время:

\[t = \frac{{0,5}}{{v}}\]

Шаг 5: Применим принцип сохранения импульса
Когда пуля попадает во второй диск, она передает ему импульс. По принципу сохранения импульса, импульс, полученный вторым диском, должен быть равен импульсу пули. Импульс (p) можно выразить следующим образом:

\[p = m \cdot v\]

Где m - масса объекта и v - его скорость. В данной задаче масса пули не указана, поэтому мы не можем рассчитать абсолютное значение скорости пули. Однако, если мы хотим узнать максимальную скорость пули (vmax), то можем рассмотреть случай, когда пуля пробивает оба диска одновременно.

Теперь мы можем записать уравнение сохранения импульса для пули и обоих дисков:

\[p = p_{диск1} + p_{диск2}\]

Где p_{диск1} и p_{диск2} - импульсы первого и второго дисков соответственно.

Опять же, масса пули (m), радиус первого диска (r₁) и радиус второго диска (r₂) неизвестны, но можно заметить, что масса пули дважды входит в уравнение и может быть сокращена. Таким образом, уравнение можно записать как:

\[v_{пуля} = \frac{{p_{диск1} + p_{диск2}}}{{2m}}\]

Разделив импульс каждого диска на его массу и заменив их скоростями (v₁ и v₂), получим:

\[v_{пуля} = \frac{{v₁ + v₂}}{2}\]

Шаг 6: Найдем скорость пули
Так как диски смещены на угол 30°, из геометрических соображений можем установить связь между скоростями дисков. На основе геометрических соображений понимаем, что скорость первого диска (v₁) приложена перпендикулярно к линии, соединяющей центры дисков, тогда как скорость второго диска (v₂) образует угол 30° со скоростью первого диска.
На основе этого можно записать уравнение для связи скоростей:

\[v₂ = v₁ \cdot \cos{(30°)} = v₁ \cdot \frac{{√3}}{{2}}\]

Теперь подставляем это уравнение в уравнение для импульса пули и находим максимальную скорость пули:

\[v_{пуля} = \frac{{v₁ + v₁ \cdot \frac{{√3}}{{2}}}}{2} = \frac{{3v₁}}{{4}}\]

Шаг 7: Рассчитываем скорость пули
Теперь нам нужно найти скорость первого диска (v₁). Это линейная скорость окружности смещенного отверстия в первом диске, которую мы рассчитали в Шаге 3.
Следовательно:

\[v₁ = R₁ ω\]

Шаг 8: Итоговый ответ
Теперь, чтобы найти максимальную скорость пули, мы заменяем v₁ в уравнении для скорости пули:

\[v_{пуля} = \frac{{3v₁}}{{4}} = \frac{{3(R₁ ω)}}{{4}}\]

Таким образом, ответ на эту задачу будет выглядеть следующим образом:

Максимальная скорость пули, если она пробивает оба диска, равна \(\frac{{3(R₁ ω)}}{{4}}\)