Какова максимальная энергия магнитного поля в идеальном колебательном контуре при изменении заряда конденсатора

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать следующую формулу для энергии магнитного поля \( W_m = \frac{1}{2} L I^2 \), где \( W_m \) - энергия магнитного поля, \( L \) - индуктивность контура, а \( I \) - ток в контуре.

Первым шагом нам нужно определить изменение заряда конденсатора. Для этого мы можем найти производную \( q \) по времени \( t \). Вычислим:

\[
\frac{{dq}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (10^{-4} \cos(10\pi t))
\]

Чтобы найти производную от косинуса, мы можем использовать формулу для производной тригонометрической функции:
\[
\frac{{d}}{{dx}} \cos(ax) = -a \sin(ax)
\]

В данном случае \( a = 10\pi \), поэтому:

\[
\frac{{dq}}{{dt}} = -10^{-4} \cdot 10\pi \cdot \sin(10\pi t) = -10^{-3} \pi \sin(10\pi t) \, \text{Кл/с}
\]

Затем мы можем определить ток \( I \) как производную от заряда конденсатора по времени:

\[
I = \frac{{dq}}{{dt}} = -10^{-3} \pi \sin(10\pi t) \, \text{А}
\]

Теперь мы можем использовать формулу для энергии магнитного поля:

\[
W_m = \frac{1}{2} L I^2
\]

Для этого нам нужно найти индуктивность \( L \) контура. В данном случае дана ёмкость конденсатора \( C \). Индуктивность и ёмкость контура связаны следующим образом: \( L = \frac{1}{{C \omega^2}} \), где \( \omega = 2\pi f \), а \( f \) - частота колебательного контура. В данном случае \( f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{2\pi}{10\pi}} = \frac{10}{2} = 5 \) Гц. Подставляя значения, найдём \( L \):

\[
L = \frac{1}{{1 \times (2\pi \times 5)^2}} = \frac{1}{{100 \pi^2}} \, \text{Гн}
\]

Теперь, зная \( L \) и \( I \), мы можем найти энергию магнитного поля:

\[
W_m = \frac{1}{2} \times \frac{1}{{100 \pi^2}} \times (-10^{-3} \pi \sin(10\pi t))^2 = \frac{1}{{200 \pi^2}} \times 10^{-6} \pi^2 \sin^2(10\pi t) \, \text{Дж}
\]

Учитывая, что \( \sin^2(10\pi t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(20\pi t) \), получим:

\[
W_m = \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} \times (1 - \cos(20\pi t)) = \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} - \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} \cos(20\pi t) \, \text{Дж}
\]

Теперь мы можем рассчитать максимальную энергию магнитного поля, подставляя \( t = 0 \):

\[
W_m = \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} - \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} \cos(20\pi \cdot 0) = \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} - \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} \cos(0) = \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} \, \text{Дж}
\]

Таким образом, максимальная энергия магнитного поля в идеальном колебательном контуре при изменении заряда конденсатора, описываемом уравнением \( q = 10^{-4} \cos(10\pi t) \), при ёмкости конденсатора 1 мкФ равна \( \frac{1}{{400}} \times 10^{-6} \) Дж.

Правильный ответ: 5) \( 0,5 \times 10^{-2} \) Дж.