Какова константа с и каковы плотности каждого компонента плотности в совместном распределении - f(x,y)=су внутри

Для решения этой задачи требуется найти константу \(\mathbf{c}\) и плотности каждого компонента плотности в совместном распределении \(f(x,y)\).

Сначала определим, как задана функция \(f(x,y)\). Мы знаем, что она равна \(\mathbf{c}\) внутри треугольника \(abc\) и равна нулю вне треугольника. Точки \(a(0,2)\), \(b(2,2)\) и \(c(8,0)\) определяют вершины этого треугольника.

Поскольку требуется найти плотности каждого компонента плотности, давайте разделим треугольник на две части. Вершины \(a\) и \(b\) будут вершинами одной части, а вершины \(b\) и \(c\) - другой части. Мы обозначим эти части как \(T_1\) и \(T_2\) соответственно.

Теперь найдем плотности в каждой части:

1. Для области \(T_1\) (вершины \(a\) и \(b\)):
Для этой части треугольника плотность будет постоянной и равной константе \(\mathbf{c}\). Другими словами, \(f(x,y) = \mathbf{c}\) для всех точек внутри \(T_1\).

2. Для области \(T_2\) (вершины \(b\) и \(c\)):
Здесь плотность будет изменяться по мере движения от вершины \(b\) к вершине \(c\). Давайте найдем плотность на основе положения точки \((x,y)\) внутри \(T_2\).

Рассмотрим выпуклую комбинацию вершин \(b\) и \(c\) с помощью параметра \(t\), где \(0 \leq t \leq 1\), заданного следующим образом:
\[P = (1-t)b + tc\]
Мы можем выразить эту комбинацию в виде:
\[P = (2(1-t)+8t, 2(1-t)+0)\]
\[P = (2+6t,2-2t)\]

Затем построим линию от \(b\) до \(P\) и обозначим ее как \(L_1\), а также построим линию от \(c\) до \(P\) и обозначим ее как \(L_2\).

Теперь рассмотрим площади \(T_2\), \(L_1\) и \(L_2\). Заметим, что площадь \(T_2\) равна сумме площадей треугольников, образованных \(T_2\) и \(L_1\) и \(T_2\) и \(L_2\).

Пусть \(S\) обозначает площадь треугольника с вершинами \((x,y)\), \(b\) и \(P\).
Тогда площадь треугольника с вершинами \(b\), \(P\) и \((x,y)\) также равна \(S\).

Используя формулу площади треугольника, можем записать:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{height}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot (2-2t) \cdot (8t)\]
\[S = 4t(1-t)\]

Плотность \(f(x,y)\) в области \(T_2\) равна изменению площади треугольников по мере движения от \(t=0\) до \(t=1\), то есть:
\[f(x,y) = 4(1-t)t \cdot \mathbf{c}\]
\[f(x,y) = 4t(1-t) \cdot \mathbf{c}\]

Теперь, когда у нас есть плотности в каждой части треугольника, мы можем сформулировать окончательный ответ.

Константа \(\mathbf{c}\) будет определяться таким образом, чтобы общая интегральная плотность равнялась единице. Для этого нужно вычислить площадь треугольника \(abc\) и взять обратное значение этой площади:
\[\int\int_{\text{triangle }abc} f(x,y) \,dx\,dy = 1\]
\[\int\int_{\text{triangle }abc} c \,dx\,dy = 1\]
\[\mathbf{c} \cdot \text{Area}(abc) = 1\]
\[\mathbf{c} = \frac{1}{\text{Area}(abc)}\]

Таким образом, константа \(\mathbf{c}\) будет равна обратной площади треугольника \(abc\).

Окончательный ответ:
Константа \(\mathbf{c}\) будет равна обратной площади треугольника \(abc\), то есть
\[\mathbf{c} = \frac{1}{\text{Area}(abc)}\]

Плотность в области \(T_1\) (\(a\) и \(b\)):
\[f(x,y) = \mathbf{c}\]
\[f(x,y) = \frac{1}{\text{Area}(abc)}\]

Плотность в области \(T_2\) (\(b\) и \(c\)):
\[f(x,y) = 4t(1-t) \cdot \mathbf{c}\]
\[f(x,y) = 4t(1-t) \cdot \frac{1}{\text{Area}(abc)}\]