Какова энергия взаимодействия между согнутым в дугу окружности непроводящим равномерно заряженным стержнем с градусной

Чтобы найти энергию взаимодействия между согнутым в дугу окружности непроводящим равномерно заряженным стержнем и точечным зарядом, нам понадобится применить закон Кулона.

Закон Кулона гласит, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Мы можем использовать этот закон, чтобы найти силу взаимодействия между точечным зарядом q и небольшим элементом длины ds сегмента дуги окружности.

Давайте вначале найдем силу взаимодействия между q и ds. Формула для нахождения силы Кулона:

\[dF = \frac{k \cdot |q| \cdot dq}{r^2}\],

где
dF - сила взаимодействия,
k - постоянная Кулона (k ≈ 9 × 10^9 Н·м^2/Кл^2),
|q| - величина заряда,
dq - малый элемент заряда,
r - расстояние между точечным зарядом и элементом заряда.

Поскольку заряд на сегменте дуги равномерно распределен, мы можем заменить dq на λ · ds, где λ - линейная плотность заряда стержня (q/R), а ds - малый элемент дуги окружности.

\[dF = \frac{k \cdot |q| \cdot \lambda \cdot ds}{r^2}\].

Теперь нам нужно выразить расстояние r в зависимости от R и угла дуги (θ) для дальнейшего интегрирования.

Радиус окружности можно записать как функцию угла дуги: r = R · sin(θ/2). Здесь мы используем половину угла дуги, потому что мы смотрим на одну половину сегмента дуги.

Теперь мы можем интегрировать силу по всей дуге окружности для нахождения полной энергии взаимодействия.

\[E = \int_{0}^{θ} dE = \int_{0}^{θ} dF \cdot ds\],

где dE - энергия взаимодействия.

Мы знаем, что ds = R · dθ (дифференциал дуги), поэтому формула принимает вид:

\[E = \int_{0}^{θ} \frac{k \cdot |q| \cdot \lambda \cdot R \cdot dθ}{(R \cdot sin(θ/2))^2}\].

Разобъем на интегралы и вынесем все константы, чтобы посчитать:

\[E = \frac{k \cdot |q| \cdot \lambda \cdot R}{R^2} \int_{0}^{θ} \frac{dθ}{sin^2(θ/2)}\].

Обратите внимание, что интеграл считается от 0 до θ, так как мы исследуем только часть сегмента дуги.

Теперь мы можем решить этот интеграл:

\[E = \frac{k \cdot |q| \cdot \lambda \cdot R}{R^2} \cdot (-2 \cdot cot(θ/2)) = -\frac{2k \cdot |q| \cdot \lambda \cdot R}{R^2 \cdot tan(θ/2)}\].

Округляя безразмерный числовой коэффициент до двух значащих цифр, получим окончательный ответ:

\[E = -\frac{2k \cdot |q| \cdot \lambda \cdot R}{R^2 \cdot tan(θ/2)}\].

Это выражение дает нам энергию взаимодействия между согнутым в дугу окружности непроводящим равномерно заряженным стержнем и точечным зарядом q.